POJ 1808 Quadratic Residues（平方剩余相关）

题目链接：http://poj.org/problem?id=1808

题意：如下。对于素数p，若存在x使得x^2%p=a，则其值为1。否则为-1。现在给出a、p，计算其值。



思路：



若a为正数则利用公式1即可；否则利用公式2、5将-1提出来。跟本题有点关系的是计算x^2%p=a最小的x。在最下面给出代码，modsqr(a,p)函数。

i64 mul(i64 a,i64 b,i64 M)
{
i64 ans=0;
a%=M;
b%=M;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans+a)%M;
a=(a+a)%M;
b>>=1;
}
return ans;
}

i64 Pow(i64 a,i64 b,i64 M)
{
i64 ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=mul(ans,a,M);
a=mul(a,a,M);
b>>=1;
}
return ans;
}

int judge(i64 d,i64 p)
{
if(d>0)
{
d%=p;
if(d==0) return 0;
if(Pow(d,(p-1)/2,p)==1) return 1;
return -1;
}
else
{
int coef=((p-1)%4==0)?1:-1;
d=-d; d%=p;
if(Pow(d,(p-1)/2,p)==1) return coef;
else return -coef;
}
}

i64 d,p;

int main()
{
int num=0;
rush()
{
scanf("%lld%lld",&d,&p);
printf("Scenario #%d:\n",++num);
PR(judge(d,p)==-1?-1:1);
puts("");
}
}

　　

i64 modsqr(i64 a,i64 n)
{
if(n==2) return a%n;
if(Pow(a,(n-1)/2,n)!=1) return -1;
i64 x;
if(n%4==3) x=Pow(a,(n+1)/4,n);
else
{
i64 b;
for(b=1;Pow(b,(n-1)/2,n)==1;b++);
i64 i=(n-1)/2,k=0;
do
{
i>>=1; k>>=1;
if((Pow(a,i,n)*Pow(b,k,n)+1)%n==0)
{
k+=(n-1)/2;
}
}while(i%2==0);
x=Pow(a,(i+1)/2,n)*Pow(b,k/2,n)%n;
}
if(x*2>n) x=n-x;
return x;
}