一般方程与参数方程求直线交点

一般方程与参数方程求直线交点

一、 一个例子：



如上图，有两条直线，设L1，L2。L1上有两点(0, 0)、(10,10)，L2上有两点(0,10)、(10,0)，它们的交点是（5,5）。求解交点有两种效率较高的常用方法，一般方程法与参数方程法，以下将分别描述其原理及实现。

二、 一般方程法：

直线的一般方程为F(x) = ax + by + c = 0。既然我们已经知道直线的两个点，假设为(x0,y0), (x1, y1)，那么可以得到a = y0 – y1, b = x1 – x0, c = x0y1 – x1y0。

因此我们可以将两条直线分别表示为

F0(x) = a0*x + b0*y + c0 = 0, F1(x) = a1*x + b1*y + c1 = 0

那么两条直线的交点应该满足

a0*x + b0*y +c0 = a1*x + b1*y + c1

由此可推出

x = (b0*c1 – b1*c0)/D

y = (a1*c0 – a0*c1)/D

D = a0*b1 – a1*b0， (D为0时，表示两直线重合)

源代码：




1 #include <iostream>

2 using namespace std;

3

4 typedef struct

5 {

6 int x, y;

7 } Point;

8 int main()

9 {

10 //一般方程法

11 Point line1[2], line2[2];

12 int a[2], b[2], c[2], x, y, D;

13 cout << "Frist Line(x0 y0 x1 y1):";

14 cin >> line1[0].x >> line1[0].y >> line1[1].x >> line1[1].y;

15 cout << "Second Line(x0 y0 x1 y1):";

16 cin >> line2[0].x >> line2[0].y >> line2[1].x >> line2[1].y;

17

18 a[0] = line1[0].y - line1[1].y;b[0] = line1[1].x - line1[0].x;

19 c[0] = line1[0].x * line1[1].y - line1[1].x * line1[0].y;

20 a[1] = line2[0].y - line2[1].y;b[1] = line2[1].x - line2[0].x;

21 c[1] = line2[0].x * line2[1].y - line2[1].x * line2[0].y;

22 D = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];

23 if (D != 0)

24 {

25 x = (b[0] * c[1] - b[1] * c[0]) / D; y = (a[1] * c[0] - a[0] * c[1]) / D;

26 cout << "一般方程求解的交点:" << x << "," << y << endl;

27 }

28 else

29 {

30 cout << "两直线重合" << endl;

31 }

32 return 0;

33 }

34




三、 参数方程法：

设直线上的两个点为A0(x0, y0), B0(x1, y1)，那么线段

可用向量


=

–

=(x1
– x0, y1 – y0)

表示，

的方向即为直线上的方向，那么直线上的任意点便可表示为

s0(t0) =

+ t0 *


同理，另一条直线（A1(x2, y2), B1(x3, y3)为其上两个点）可类似表示为

s1(t1) =

+ t1 *


因此，满足两条直线的交点必满足以下条件：


+ t0
*

=

+ t1
*


可求出

t0 = (x0(y3 – y2) + x2(y0 – y3) + x3(y2 – y0))/D

t1 = -(x0(y2 – y1) + x1(y0 – y2) + x2(y1 – y0))/D

D = x0(y3 – y2) + x1(y2 – y3) + x3(y1 – y0) + x2(y0 – y1)，（D为0时，表示两直线重合）

则交点为：

x = x0 + t0 * (x1 – x0); y = y0 + t0 * (y1 – y0);

或

x = x2 + t1 * (x3 – x2); y = y2 + t1 * (y3 – y2);

如果将t0,t1限定在[0,1]内，则变为求线段的求点

源代码：




1 #include <iostream>

2 using namespace std;

3

4 typedef struct

5 {

6 int x, y;

7 } Point;

8 int main()

9 {

10 //参数方程法

11 Point pt[4];

12 int t1, t2, dx, dy, D, x, y;

13 cout << "Frist Line(x0 y0 x1 y1):";

14 cin >> pt[0].x >> pt[0].y >> pt[1].x >> pt[1].y;

15 cout << "Second Line(x0 y0 x1 y1):";

16 cin >> pt[2].x >> pt[2].y >> pt[3].x >> pt[3].y;

17 t1 = pt[0].x * (pt[3].y - pt[2].y) + pt[2].x * (pt[0].y - pt[3].y) + pt[3].x * (pt[2].y - pt[0].y);

18 t2 = - (pt[0].x * (pt[2].y - pt[1].y) + pt[1].x * (pt[0].y - pt[2].y) + pt[2].x * (pt[1].y - pt[0].y));

19 D = pt[0].x * (pt[3].y - pt[2].y) + pt[1].x * (pt[2].y - pt[3].y) + pt[3].x * (pt[1].y - pt[0].y) + pt[2].x * (pt[0].y - pt[1].y);

20 if (D != 0)

21 {

22 dx = pt[1].x - pt[0].x; dy = pt[1].y - pt[0].y;

23 x = pt[0].x + t1 * dx / D; y = pt[0].y + t1 * dy / D;

24 cout <<"参数法求交点:" << x << "," << y << endl;

25 }

26 else

27 {

28 cout << "两直线重合" << endl;

29 }

30 return 0;

31 }

32