bzoj 1005 组合数学 Purfer Sequence

这题需要了解一种数列： Purfer Sequence

我们知道，一棵树可以用括号序列来表示，但是，一棵顶点标号（1~n）的树，还可以用一个叫做 Purfer Sequence 的数列表示

一个含有 n 个节点的 Purfer Sequence 有 n-2 个数，Purfer Sequence 中的每个数是 1~n 中的一个数

一个定理：一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应

先看看怎么由一个树得到 Purfer Sequence

由一棵树得到它的 Purfer Sequence 总共需要 n-2 步，每一步都在当前的树中寻找具有最小标号的叶子节点（度为 1），将与其相连的点的标号设为 Purfer Sequence 的第 i 个元素，并将此叶子节点从树中删除，直到最后得到一个长度为 n-2 的 Purfer Sequence 和一个只有两个节点的树

看看下面的例子：

假设有一颗树有 5 个节点，四条边依次为：(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5)，如下图所示：



第 1 步，选取具有最小标号的叶子节点 3，将与它相连的点 1 作为第 1 个 Purfer Number，并从树中删掉节点 3：



第 2 步，选取最小标号的叶子节点 1，将与其相连的点 2 作为第 2 个 Purfer Number，并从树中删掉点 1：



第 3 步，选取最小标号的叶子节点 4，将与其相连的点 2 作为第 3 个 Purfer Number，并从树中删掉点 4：



最后，我们得到的 Purfer Sequence 为：1 2 2

不难看出，上面的步骤得到的 Purfer Sequence 具有唯一性，也就是说，一个树，只能得到一个唯一的 Purfer Sequence

接下来看，怎么由一个 Purfer Sequence 得到一个树

由 Purfer Sequence 得到一棵树，先将所有编号为 1 到 n 的点的度赋初值为 1，然后加上它在 Purfer Sequence 中出现的次数，得到每个点的度

先执行 n-2 步，每一步，选取具有最小标号的度为 1 的点 u 与 Purfer Sequence 中的第 i 个数 v 表示的顶点相连，得到树中的一条边，并将 u 和 v 的度减一

最后再把剩下的两个度为 1 的点连边，加入到树中

我们可以根据上面的例子得到的 Purfer Sequence ：1 2 2 重新得到一棵树

Purfer Sequence 中共有 3 个数，可以知道，它表示的树中共有 5 个点，按照上面的方法计算他们的度为下表所示：

顶点	1	2	3	4	5
度	2	3	1	1	1

第 1 次执行，选取最小标号度为 1 的点 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边：



将 1 和 3 的度分别减一：

顶点	1	2	3	4	5
度	1	3	0	1	1

第 2 次执行，选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边：



将 1 和 2 的度分别减一：

顶点	1	2	3	4	5
度	0	2	0	1	1

第 3 次执行，将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边：



将 2 和 4 的度分别减一：

顶点	1	2	3	4	5
度	0	1	0	0	1

最后，还剩下两个点 2 和 5 的度为 1，连边：



至此，一个 Purfer Sequence 得到的树画出来了，由上面的步骤可知，Purfer Sequence 和一个树唯一对应

综上，一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应

有了 Purfer Sequence 的知识，这题怎么搞定呢？

先不考虑无解的情况，从 Purfer Sequence 构造树的过程中可知，一个点的度数减一表示它在 Purfer Sequence 中出现了几次，那么：

假设度数有限制的点的数量为 cnt，他们的度数分别为：d[i]

另：



那么，在 Purfer Sequence 中的不同排列的总数为：



而剩下的 n-2-sum 个位置，可以随意的排列剩余的 n-cnt 个点，于是，总的方案数就应该是：



化简之后为：



以上题解转自/article/5158621.html

//By BLADEVIL
var
n                        :longint;
d                        :array[0..1010] of int64;
a, b, c                    :array[0..1000000] of int64;

procedure init;
var
i                        :longint;
begin
read(n);
for i:=1 to n do read(d[i]);
end;

function mul(s1,s2:ansistring):ansistring;
var
len1, len2                :int64;
i, j                    :longint;
s                        :ansistring;

begin
fillchar(a,sizeof(a),0);
fillchar(b,sizeof(b),0);
fillchar(c,sizeof(c),0);
len1:=length(s1);
len2:=length(s2);
for i:=1 to len1 do a[(len1-i) div 8+1]:=a[(len1-i) div 8+1]*10+ord(s1[i])-48;
for i:=1 to len2 do b[(len2-i) div 8+1]:=b[(len2-i) div 8+1]*10+ord(s2[i])-48;

len1:=(len1+7) div 8;
len2:=(len2+7) div 8;
for i:=1 to len1 do
for j:=1 to len2 do
begin
c[i+j-1]:=c[i]+a[i]*b[j];
c[i+j]:=c[i+j-1] div 100000000;
c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 100000000;
end;
mul:='';
inc(len1);
for i:=len1 downto 1 do
begin
str(c[i],s);
if c[i]<10000000 then mul:=mul+'0';
if c[i]<1000000 then mul:=mul+'0';
if c[i]<100000 then mul:=mul+'0';
if c[i]<10000 then mul:=mul+'0';
if c[i]<1000 then mul:=mul+'0';
if c[i]<100 then mul:=mul+'0';
if c[i]<10 then mul:=mul+'0';
mul:=mul+s;
end;
while (mul[1]='0') and (length(mul)>1) do delete(mul,1,1);
end;

function divide(s:ansistring;x:int64):ansistring;
var
len                        :int64;
i                        :longint;

begin
fillchar(a,sizeof(a),0);
fillchar(c,sizeof(c),0);
len:=length(s);
for i:=1 to len do a[(len-i) div 8+1]:=a[(len-i) div 8+1]*10+ord(s[i])-48;
len:=(len+7) div 8;
for i:=len downto 1 do
begin
c[i]:=c[i]+a[i] div x;
a[i-1]:=a[i-1]+(a[i] mod x)*100000000;
end;
divide:='';
for i:=len downto 1 do
begin
str(c[i],s);
if c[i]<10000000 then divide:=divide+'0';
if c[i]<1000000 then divide:=divide+'0';
if c[i]<100000 then divide:=divide+'0';
if c[i]<10000 then divide:=divide+'0';
if c[i]<1000 then divide:=divide+'0';
if c[i]<100 then divide:=divide+'0';
if c[i]<10 then divide:=divide+'0';
divide:=divide+s;
end;
while (divide[1]='0') and (length(divide)>1) do delete(divide,1,1);
end;

procedure main;
var
sum                        :int64;
flag                    :boolean;
cnt                        :int64;
ans, s                    :ansistring;
i, j                    :longint;

begin
if n=1 then
begin
if (d[1]=0) or (d[0]=-1) then writeln(1) else writeln(0);
exit;
end;
sum:=0;
flag:=false;
cnt:=0;
for i:=1 to n do if d[i]<>-1 then
begin
inc(sum,d[i]-1);
inc(cnt);
if (d[i]>n-1) or (d[i]=0) then flag:=true;
end;

if flag then
begin
writeln(0);
exit;
end;
if sum>n-2 then
begin
writeln(0);
exit;
end;
flag:=false;
ans:='1';
for i:=n-1-sum to n-2 do
begin
str(i,s);
ans:=mul(ans,s);
end;
str(n-cnt,s);
for i:=1 to n-2-sum do ans:=mul(ans,s);
for i:=1 to n do
begin
if d[i]<>-1 then
for j:=1 to d[i]-1 do
begin
ans:=divide(ans,j);
end;
end;
writeln(ans);
end;

begin
init;
main;
end.