求最长回文子串(Longest Palindromic Substring)

求解最长回文子串的问题最近经常遇到，特别是近期的笔试，因而有了一个学习的契机。先说说回文字符串，回文字符串的意思是从左往右看和从右往左看都是一样的，即我们如果以中心为轴，这个字符串是左右对称的，如字符串"abcba"，"abba"。字符串"abcba"有奇数个字符，所以以中间字符'c'为轴左右对称，而字符串"abba"有偶数个字符，所以是对半开来对称的。而顾名思义，最长回文子串就是指一个字符串中最长的具有回文性质的子串了。

用暴力的方法是不现实的，一个字符串的子串个数很多(用2个for循环求解，i : 0-n-1，j : i- n-1)，有n * (n+1) / 2个，如果对所有子串都进行回文判断，需要O(n3)，显然耗时巨大。

常规的求解方法有2种：动态规划法，中心扩展判断法，这2种算法都是O(n2)的时间复杂度。

动态规划法

假设dp[ i ][ j ]的值为true，表示字符串s中下标从 i 到 j 的字符组成的子串是回文串。那么可以推出：

dp[ i ][ j ] = dp[ i + 1][ j - 1] && s[ i ] == s[ j ]。

这是一般的情况，由于需要依靠i+1, j -1，所以有可能 i + 1 = j -1, i +1 = (j - 1) -1，因此需要求出基准情况才能套用以上的公式：

a. i + 1 = j -1，即回文长度为1时，dp[ i ][ i ] = true;

b. i +1 = (j - 1) -1，即回文长度为2时，dp[ i ][ i + 1] = （s[ i ] == s[ i + 1]）。

有了以上分析就可以写出代码了。需要注意的是动态规划需要额外的O(n2)的空间。

//Written by zhou
//2013.11.22

string longestPalindrome(string s) {

size_t n = s.length();
bool **dp = new bool*
;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
dp[i] = new bool
;
}

//为基准情况赋值
int startPos = 0;
int max = 1;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
dp[i][i] = true;
if (i + 1 < n)
{
if (s[i] == s[i+1])
{
dp[i][i+1] = true;
startPos = i;
max = 2;
}
else dp[i][i+1] = false;
}
}

//动规求解,前面已求len = 1, len = 2的情况
for (int len = 3; len <= n; ++len)
{
for (int i = 0; i < n - len + 1; ++i)
{
int j = i + len - 1;

if (dp[i+1][j-1] && s[i] == s[j])
{
dp[i][j] = true;
int curLen = j - i + 1;
if (curLen > max)
{
startPos = i;
max = curLen;
}
}
else dp[i][j] = false;

}
}

//释放二维数组
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
delete[] dp[i];

delete[] dp;
return s.substr(startPos,max);
}

2. 中心扩展法

因为回文字符串是以中心轴对称的，所以如果我们从下标 i 出发，用2个指针向 i 的两边扩展判断是否相等，那么只需要对0到

n-1的下标都做此操作，就可以求出最长的回文子串。但需要注意的是，回文字符串有奇偶对称之分，即"abcba"与"abba"2种类型，

因此需要在代码编写时都做判断。

设函数int Palindromic ( string &s, int i ,int j) 是求由下标 i 和 j 向两边扩展的回文串的长度，那么对0至n-1的下标，调用2次此函数：

int lenOdd = Palindromic( str, i, i ) 和 int lenEven = Palindromic (str , i , j )，即可求得以i 下标为奇回文和偶回文的子串长度。

接下来以lenOdd和lenEven中的最大值与当前最大值max比较即可。

这个方法有一个好处是时间复杂度为O(n2)，且不需要使用额外的空间。

代码如下，欢迎指导交流~

//Written by zhou
//2013.11.22

string longestPalindrome(string s) {

size_t n = s.length();
int startPos = 0;
int max = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
int oddLen = 0, evenLen = 0, curLen;
oddLen = Palindromic(s,i,i);

if (i + 1 < n)
evenLen = Palindromic(s,i,i+1);

curLen = oddLen > evenLen? oddLen : evenLen;

if (curLen > max)
{
max = curLen;
if (max & 0x1)
startPos = i - max / 2;
else
startPos = i - (max - 1) / 2;
}
}

return s.substr(startPos,max);
}

int Palindromic(const string &str, int i, int j)
{
size_t n = str.length();
int curLen = 0;

while (i >= 0 && j < n && str[i] == str[j])
{
--i;
++j;
}
curLen = (j-1) - (i+1) + 1;

return curLen;
}

除了以上介绍的2种方法外，还有一种Manacher算法的O(n)的算法，待有时间学习时再做更新。