伽马贝塔函数

在数理方程、概率论等学科经常遇到以下的含参变量的积分





，




它们依次为第一类和第二类欧拉（Euler 1707~1783 瑞士数学家）积分，或依次称为贝塔（Bata）函数和伽马（Gamma）函数，这一节主要讨论这两个函数的若干性质。

11.3.1 伽马函数



显然，我们应首先考虑伽马函数





（3.1）

的收敛问题。式（3.1）右端的积分不仅是一个无穷积分，而且当

时，

还是被积函数





的一个瑕点。为此我们把它拆成两个积分。





和




注意到

是以

为瑕点的瑕积分，且注意到






而

在

时是收敛的，所以





也收敛（

）。又因为



，有




所以，



，当

时，有






这说明积分




对于



都是收敛的，总之当

，积分

和

同时收敛，所以积分




在

收敛，从而伽马函数

在

有定义。




在任何



上一致收敛。事实上，



。

对

，





，而

收敛，由

判别法，



关于

在

一致收敛。

对

，





，而

收敛，由

判别法，



关于

在

一致收敛。

由



的任意性及连续概念的局部性知，伽马函数

在

是连续的。

下面还可以进一步证明伽马函数的可微性，即

当

时各阶导数都存在，并且可由



在积分号下求导得到，即





（3.2）

事实上采用证明

连续性时同样的方法，可证瑕积分



与无穷积分



关于

在

上一致收敛，这里

且为任意正数。从而再由定理2.5和定理2.9推知式（3.2）成立。

当

时，利用分部积分公式，有












即伽马函数

有递推关系






（3.3）

反复运用式（3.3），得





（3.4）

公式（3.3）、（3.4）可用于逐步减小自变量的值，直到它不超过1；即伽马函数

对任意的自变量值的计算，都可化为对

的值的计算。

在式（3.4）中，取

，并注意








就得到




这个式子说明伽马函数

是阶乘

的推广。这就是说，把本来只对自然数有意义的函数

推广到对一切正数

都有意义了。



11.3.2 贝塔函数



对于贝塔函数




（3.5）

采用上一小节同样方法，可证明

在区域

连续。

如果在式（3.5）的右端积分中作替换

，我们有












即



（3.6）

这说明贝塔函数

关于

具有对称性。

贝塔函数还有如下递推公式





（3.7）

事实上，由分部积分























移项解出

，便得到所要证明的式（3.7）。

如果在式（3.5）中作替换

，则得





（3.8）

反复运用公式（3.7），有

























从而










可见






从上式可看到贝塔函数

与伽马函数

之间的联系，但上述等式仅限于

取非负的整数方能成立，限制公式的应用价值，我们当然希望把它能够推广到

和

的整个定义范围内，这正是下一节讨论的内容。

11.3.3 贝塔函数

与伽马函数

之间的联系

定理3.1 设

，则





（3.9）

证： 在积分






中作代换

，则有







所以






（3.10）

其中

为正方形

。作半径分别为

和

，圆心在原点的

圆域

和

（图3.1），则由于式（3.10）中积分的被积函数为非负的，所以有








但在积分



中作极坐标替换，得












（利用式（3.8））






（这里

）

所以









同理，可求










从而根据式（3.11），有






代入式（3.10），得






即




式（3.9）得证。

例 3.2 证明




证： 由于




作替换



，有







又当

时，

，当

时，

，所以











例3.3 利用等式





证明




证： 由贝塔函数与伽马函数的关系式（3.9）及例3.1，有
















例 3.4 利用欧拉积分计算积分




解： 令

，有


，

，





并且当

时

；当

时

。从而










=




=








=




=




=