普通涂色问题 组合数学-Polya定理

    Polya定理是组合数学理论中最重要的定理之一。该定理是要解决这样的问题，在一个集合内，定义了一个等价关系，人们往往关心由这个等价关系所决定的等价类的数目。

Polya定理：

    设有n个对象，G是这n个对象上的置换群，用m种颜色涂染这n个对象，每个对象涂染一种颜色。若一种染色方案在群G的作用下变为另一种方案，则这两种方案当作是一种方案。那么存在的方案个数为：L=∑mc(ai)/|G|



公式中：|G|就是这个对象的个数。c(ak)是置换ak的循环节数。

概念补充：
1、什么是置换？



这就是一个置换，把群(1 2 3 4 5)置换成(3 5 1 4 2)，这就是一个置换。

2、什么叫置换的循环节？
在上面这个置换中看到，1置换为3，同时3又能置换为1，这就是一个循环。4置换为4本身，这也算一个循环。所以上面的置换可以写成这样：



左右两个表示是等价的，从后面的表示可以清楚的看到每个循环，以及循环节的个数。

3、怎么求一个置换的循环节数？
方法一：把所有置换写出来，就能知道它们的循环节数了。
方法二：现成公式，对于旋转，有c(ai) = gcd(n,i)，i为转动幅度，1~n，gcd是求最大公约数。

典型题目：用2种颜色去染排成一个环的6个棋子，如果通过旋转得到则只算一种，一共有多少种染色方案？
典型的满足polya公式的条件，m=2，n=6。因为是旋转得到的置换，所以存在6个置换（自己置换到自己也算）。



每个置换的循环节已经标出了。
所以根据polya定理公式可以算出，染色方案数为 (2^6+2^1+2^2+2^3+2^2+2^1)/6 = 14