程序员面试100题：求子数组的最大和

1.题目

   输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

       例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。

2.算法初级分析

   刚开始接触，我们肯定会想用遍历数组求和来解决问题，如果不考虑时间复杂度，我们可以枚举出所有子数组并求出他们的和。但显然那样做的话没有什么算法含量，过于暴力了，没有编程艺术的气息。并且题目要求时间复杂度为O(n)，长度为n的数组有
((n+1)*n)/2 个子数组（即为O(n2) ），而且求一个长度为n的数组的和的时间复杂度为O(n)，因此这种思路的时间是O( n3 )。

int MaxSum(int* A, int n)

{

 int maximum = -INF; 

 int sum=0;   

 for(int i = 0; i < n; i++)

 {

  for(int j = i; j < n; j++)

  {

   for(int k = i; k <= j; k++)

   {

    sum += A[k];

   }

   if(sum > maximum)

     maximum = sum;

sum=0;   

  }

 }

 return maximum;

} 

第二种解法：

int maxsum(int a
)
{
int max=a[0];
int sum=0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(sum>=0)
sum+=a[j];
else
sum=a[j];
if(sum>max)
max=sum;
}
return max;
}

int main()
{
int a[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
cout<<maxsum(a)<<endl;
return 0;
}

第三种解法：
动态规划：设sum[i] 为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组，result 为已找到的子数组中和最大的。对第i+1个元素有两种选择：做为新子数组的第一个元素、放入前面找到的子数组。
sum[i+1] = max(a[i+1], sum[i] + a[i+1])
result = max(result, sum[i])

3.编程之美的代码

下面给出《Data structures and Algorithm analysis in C》中4种实现

//Algorithm 1:时间效率为O(n*n*n)
int MaxSubsequenceSum1(const int A[],int N)
{
int ThisSum=0 ,MaxSum=0,i,j,k;
for(i=0;i<N;i++)
for(j=i;j<N;j++)
{
ThisSum=0;
for(k=i;k<j;k++)
ThisSum+=A[k];

if(ThisSum>MaxSum)
MaxSum=ThisSum;
}
return MaxSum;
}

//Algorithm 2:时间效率为O(n*n)
int MaxSubsequenceSum2(const int A[],int N)
{
int ThisSum=0,MaxSum=0,i,j,k;
for(i=0;i<N;i++)
{
ThisSum=0;
for(j=i;j<N;j++)
{
ThisSum+=A[j];
if(ThisSum>MaxSum)
MaxSum=ThisSum;
}
}
return MaxSum;
}

//Algorithm 3:时间效率为O(n*log n)
//算法3的主要思想：采用二分策略，将序列分成左右两份。
//那么最长子序列有三种可能出现的情况，即
//【1】只出现在左部分.
//【2】只出现在右部分。
//【3】出现在中间，同时涉及到左右两部分。
//分情况讨论之。
static int MaxSubSum(const int A[],int Left,int Right)
{
int MaxLeftSum,MaxRightSum;              //左、右部分最大连续子序列值。对应情况【1】、【2】
int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;  //从中间分别到左右两侧的最大连续子序列值，对应case【3】。
int LeftBorderSum,RightBorderSum;
int Center,i;
if(Left == Right)Base Case
if(A[Left]>0)
return A[Left];
else
return 0;
Center=(Left+Right)/2;
MaxLeftSum=MaxSubSum(A,Left,Center);
MaxRightSum=MaxSubSum(A,Center+1,Right);
MaxLeftBorderSum=0;
LeftBorderSum=0;
for(i=Center;i>=Left;i--)
{
LeftBorderSum+=A[i];
if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum)
MaxLeftBorderSum=LeftBorderSum;
}
MaxRightBorderSum=0;
RightBorderSum=0;
for(i=Center+1;i<=Right;i++)
{
RightBorderSum+=A[i];
if(RightBorderSum>MaxRightBorderSum)
MaxRightBorderSum=RightBorderSum;
}
int max1=MaxLeftSum>MaxRightSum?MaxLeftSum:MaxRightSum;
int max2=MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum;
return max1>max2?max1:max2;
}

//Algorithm 4:时间效率为O(n)
//同上述第一节中的思路3、和4。
int MaxSubsequenceSum(const int A[],int N)
{
int ThisSum,MaxSum,j;
ThisSum=MaxSum=0;
for(j=0;j<N;j++)
{
ThisSum+=A[j];
if(ThisSum>MaxSum)
MaxSum=ThisSum;
else if(ThisSum<0)
ThisSum=0;
}
return MaxSum;
}