思考问题的一些方法:一般化,特殊化和归纳类比
2013-11-10 13:03
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半年看了刘未鹏的豆列(http://www.douban.com/people/pongba/doulists/),买了一些书没事看看,其中影响比较大的书有《决策和判断》,《走出思维的误区:批判性思维指南》,当时只是粗略地看了下G.波利亚的《数学与猜想》的1,2卷,最近的时候又把《数学与猜想》1卷在早上坐地铁的时候看了看,有种相识恨晚的感觉。
在这里简单介绍下巨牛----G.波利亚,请大家点击链接:http://baike.baidu.com/link?url=l_60mmRaJ7dlY4yuNrycWhmRpi33G76PaIaajGCqcYnyU9Z0Sgz-0abF1_jzFK2QL4TMrw3KXgrISgp-xyQ0kq。
《数学与猜想》第一卷中,作者主要介绍了面对以前没有碰到过的(数学题)问题的一些解决方法:
1. 一般化。
2. 特殊化
3. 归纳和类比。
1.一般化
指从对象的一个给定集合进而考虑到这个给定集合的更大集合。我们可以由三角形考虑到任意多边形,或者,从锐角的三角函数考虑到任意角的三角函数。在程序方面,提取出更一般化的方法。
2.特殊化
与一般化对立,给定一个对象的集合,进而考虑到这个对象较小的集合。例如,由任意多边形考虑到正n边形,由正n边形考虑到正三角形。
在特殊化的时候,我们还可以将目标限定到某一个具体的对象。例如,在研究全体素数的性质时,我们可以单个拿出17这个素数,进而研究17这个素数是否符合我们提出的素数性质。在程序方面,我们在提取出一般化的方法使,可以使用几个特殊的情形来验证下我们抽取方法的正确性。白盒测试是一个特殊化的用法。
3.归纳和类比
这是《数学与猜想》中最核心的思想。
类比是事物在某些类型上的相似性。通过归纳的手法,我们可以来类比事物。如果我们将对象的相似之处成功转化为概念,那我们就描述清楚了类比关系。
例如,人类的手,猫的爪子,马的前蹄……这些器官在某些方面具有相似性——由具有相似性关系的相似部分组成。
在上个例子中,阐明了类比关系:如果两个系统要做对比,那么就需要两个系统在清楚定义的关系上具有一致性。
在这里举一个类比的例子,摘自《数学与猜想》第二章习题的第11题,题中说了一个例子:设计一种飞机,使乘客在飞机失事的时候不易损伤颅骨。但明显不能使用真人来实验,在这个实验中,实验人员使用了鸡蛋在各种情况下被敲碎的情形来做实验。
在这个事例中,实验人员改变了原题,把颅骨的问题转换为蛋壳问题。这中间有一个类比:在机械结构方面来说:人脑和鸡蛋大致相似:两者都有脆硬的外壳和浆液内含物。
我们是否可以在我们的工作中使用以上三种方法呢?需要我们平时积极地思考了。愿大家共勉之。
最后,奉上一则笑话(摘自第一章习题的最后一个):
逻辑学家,数学家,物理学家和工程师在一起。
逻辑学家说:你看这个数学家,他观察开头的九十九个数都比一百小,从而他就用他所谓的“归纳”推断所有的数都比一百小。
数学家说:一个物理学家相信60能被一切数除尽,他发现60能被1,2,3,4,5和6除尽,他还试验了更多的情况,例如10,20,30也能除尽60,并且说这些例子是随意举出的,由于60能被这些数所除尽,他就认为这些实验证据已经足够。
物理学家说:是的,你们去看工程师吧。一个工程师觉得所有奇数都是素数,他辩解说:1无论如何总是素数,无疑的3,5和7是素数,9则不灵了,它似乎不是素数,然而11,13,他说:“回过头再看9,我断定9必定是一个实验性的错误”。
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《数学与猜想》第一卷中,作者主要介绍了面对以前没有碰到过的(数学题)问题的一些解决方法:
1. 一般化。
2. 特殊化
3. 归纳和类比。
1.一般化
指从对象的一个给定集合进而考虑到这个给定集合的更大集合。我们可以由三角形考虑到任意多边形,或者,从锐角的三角函数考虑到任意角的三角函数。在程序方面,提取出更一般化的方法。
2.特殊化
与一般化对立,给定一个对象的集合,进而考虑到这个对象较小的集合。例如,由任意多边形考虑到正n边形,由正n边形考虑到正三角形。
在特殊化的时候,我们还可以将目标限定到某一个具体的对象。例如,在研究全体素数的性质时,我们可以单个拿出17这个素数,进而研究17这个素数是否符合我们提出的素数性质。在程序方面,我们在提取出一般化的方法使,可以使用几个特殊的情形来验证下我们抽取方法的正确性。白盒测试是一个特殊化的用法。
3.归纳和类比
这是《数学与猜想》中最核心的思想。
类比是事物在某些类型上的相似性。通过归纳的手法,我们可以来类比事物。如果我们将对象的相似之处成功转化为概念,那我们就描述清楚了类比关系。
例如,人类的手,猫的爪子,马的前蹄……这些器官在某些方面具有相似性——由具有相似性关系的相似部分组成。
在上个例子中,阐明了类比关系:如果两个系统要做对比,那么就需要两个系统在清楚定义的关系上具有一致性。
在这里举一个类比的例子,摘自《数学与猜想》第二章习题的第11题,题中说了一个例子:设计一种飞机,使乘客在飞机失事的时候不易损伤颅骨。但明显不能使用真人来实验,在这个实验中,实验人员使用了鸡蛋在各种情况下被敲碎的情形来做实验。
在这个事例中,实验人员改变了原题,把颅骨的问题转换为蛋壳问题。这中间有一个类比:在机械结构方面来说:人脑和鸡蛋大致相似:两者都有脆硬的外壳和浆液内含物。
我们是否可以在我们的工作中使用以上三种方法呢?需要我们平时积极地思考了。愿大家共勉之。
最后,奉上一则笑话(摘自第一章习题的最后一个):
逻辑学家,数学家,物理学家和工程师在一起。
逻辑学家说:你看这个数学家,他观察开头的九十九个数都比一百小,从而他就用他所谓的“归纳”推断所有的数都比一百小。
数学家说:一个物理学家相信60能被一切数除尽,他发现60能被1,2,3,4,5和6除尽,他还试验了更多的情况,例如10,20,30也能除尽60,并且说这些例子是随意举出的,由于60能被这些数所除尽,他就认为这些实验证据已经足够。
物理学家说:是的,你们去看工程师吧。一个工程师觉得所有奇数都是素数,他辩解说:1无论如何总是素数,无疑的3,5和7是素数,9则不灵了,它似乎不是素数,然而11,13,他说:“回过头再看9,我断定9必定是一个实验性的错误”。
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