扩展欧几里得定理
2013-11-08 23:37
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扩展欧几里得定理:对于两个不全为0的整数a、b,必存在一组解x,y,使得ax+by==gcd(a,b)
由扩展欧几里得定理:ax+by==gcd(a,b) ① ,当b==0,也就是说gcd(a,0)==a。
原式变为ax+by==a => x==1,y==0。
设 x,y表示第一次递归时的值,x1,y1表示第二次递归时的值。那么
gcd(a,b)==gcd(b,a%b),同时都代入式①,有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。
将右边变形得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)
b*x1+(a%b)*y1 ==> b*x1+(a-(a/b)*b)*y1 ==> a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)
也就是说,上一深度的x等于下一深度的y1,上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { int d; if(!b) { x=1; y=0; return a; } d=exgcd(b, a%b, y, x); y-=(a/b)*x; return d; }
由扩展欧几里得定理:ax+by==gcd(a,b) ① ,当b==0,也就是说gcd(a,0)==a。
原式变为ax+by==a => x==1,y==0。
设 x,y表示第一次递归时的值,x1,y1表示第二次递归时的值。那么
gcd(a,b)==gcd(b,a%b),同时都代入式①,有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。
将右边变形得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)
b*x1+(a%b)*y1 ==> b*x1+(a-(a/b)*b)*y1 ==> a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)
也就是说,上一深度的x等于下一深度的y1,上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。
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