[LeetCode] Palindrome Partitioning II

Given a string s, partition s such that every substring of the partition is a palindrome.

Return the minimum cuts needed for a palindrome partitioning of s.

For example, given s = 

"aab"

,

Return 

1

 since the palindrome partitioning 

["aa","b"]

 could
be produced using 1 cut.

这道题做了比较长的时间，尝试了好多次，总是超时。这道题递归的思路很明显，但是如果只是简单的使用递归，由于会重复计算很多的子问题，必然会超时。所以我一开始就尝试了使用DP。

第一次尝试的时候，想出的方案是3维的DP：对于一个以i为起点，长度为j的子字符串s[i...i + j - 1]，让min(i,j)表示所含回文的最小数量。那么min(i,j) =:

1) 1, 如果字符串本身是回文；

2) min(min(i, k) + min(k, j - k), min(i, j)), 如果对于所有的k，0 < k < j，这个时候min(i, j)的初始值为j，即为最坏情况：当字符串完全拆成单个字符，所含回文个数即字符串长度。

最后所求的最小切割数就是整个字符串所含的回文的最小数减去1。

private boolean isValid(String s) {
int i = 0, j = s.length() - 1;
while (i < j) {
if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
return false;
} else {
i++;
j--;
}
}

return true;
}

public int minCut(String s) {
int length = s.length();
// min[i][j] represents the minimum number of composed palindromes for
// the string starts at i and has a length of j
int min[][] = new int[length][length + 1];

for (int j = 1; j <= length; j++) {
for (int i = 0; i < length; i++) {
if (i + j <= length) {
if (isValid(s.substring(i, i + j))) {
min[i][j] = 1;
continue;
} else {
min[i][j] = j;
for (int k = 1; k < j; k++) {
min[i][j] = Math.min(min[i][k] + min[k][j - k],
min[i][j]);
if (min[i][j] == 2)
break;
}
}
} else {
break;
}
}
}

return min[0][length] - 1;
}

以上代码还是经过几次尝试后优化过了的，已经在好几个部分插入了continue和break，以避免不必要的计算。例如当子字符串本身为回文，或者本身不为回文但可以被拆分成两个回文，就已经达到了当前的最优情况，不必再继续搜索了。但是还是超时啊。。。。

于是开始了第二次尝试，目标是从根本上减少DP的时间复杂度，因为O(N^3)的时间复杂度还是实在太高了。于是想到了一个O(N^2)的方案：

让min[i]表示从字符串最左边开始，到下标i结束的子字符串，所构成的回文的最小数目。那么min[i]有三种可能值：

1）当子字符串本身为回文，那么min[i]=1；

2）当子字符串本身不是回文的时候，令0<= j < i，

如果s[j + 1...i]为回文，那么min[i]=min[j] + 1；否则，min[i]=min[j] + i - j +1（当成余下部分全部拆成单个字符的最坏情况）。

所求就是min
- 1了。注意代码里我还是加了起优化作用的continue和break，以减少不必要的计算。

private boolean isValid(String s) {
int i = 0, j = s.length() - 1;
while (i < j) {
if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
return false;
} else {
i++;
j--;
}
}

return true;
}

public int minCut(String s) {
int length = s.length();
int min[] = new int[length];
min[0] = 1;
for (int i = 1; i < length; i++) {
if (isValid(s.substring(0, i + 1))) {
min[i] = 1;
continue;
} else {
// the worst case: partition the word into single letters
min[i] = i + 1;
}

// j is the end of the first part
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (isValid(s.substring(j + 1, i + 1))) {
min[i] = Math.min(min[i], min[j] + 1);
if (min[i] == 2)
break;
}
// treat the remaining part as all single characters
else {
min[i] = Math.min(min[i], min[j] + i - j + 1);
if (min[i] == 2)
break;
}
}
}

return min[length - 1] - 1;
}

这次尝试终于过了！网上搜了一下，发现还可以更加优化。因为其实在多次判断回文的过程中还是引入了不少重复计算，所以在可以将判断回文的时候函数去掉，换成一个二维表，于是判断回文再也不用将整个输入的字符串再扫一遍，而是转化为了一个简单的查看表格内某元素的操作。所以把之前代码里的isValid函数用一个DP建立的二维表替换掉了。

public int minCut(String s) {
int length = s.length();
// make the palindrome validation become a look-up operation
boolean valid[][] = new boolean[length][length];
// valid[i][j] represents the s[i...j] is a palindrome or not
for (int i = 1; i <= length; i++) {
for (int j = 0; j + i <= length; j++) {
if (i == 1)
valid[j][j + i - 1] = true;
else if (i == 2)
valid[j][j + i - 1] = s.charAt(j) == s.charAt(j + 1);
else
valid[j][j + i - 1] = (s.charAt(j) == s.charAt(j + i - 1))
&& valid[j + 1][j + i - 2];
}
}

// min[i] represents the minimum number of composed palindromes for
// the string starts at 0 and ends at i (inclusive)
int min[] = new int[length];
min[0] = 1;
for (int i = 1; i < length; i++) {
if (valid[0][i]) {
min[i] = 1;
continue;
} else {
// the worst case: partition the word into single letters
min[i] = i + 1;
}

// j is the end of the first part
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (valid[j + 1][i]) {
min[i] = Math.min(min[i], min[j] + 1);
if (min[i] == 2)
break;
}
// treat the remaining part as all single characters
else {
min[i] = Math.min(min[i], min[j] + i - j + 1);
if (min[i] == 2)
break;
}
}
}

return min[length - 1] - 1;
}