Best Time to Buy and Sell Stock III 最佳时间买入卖出股票（最多两次买卖）@LeetCode

题目：
最佳时间买入卖出股票：你有一个数组保存了股票在第i天的价钱，现在你最多进行两次买卖，但同一时间你手上只能保持一个股票，如何赚的最多

思路：
知道要用DP做，但是一开始思路是错的。后来参考了 http://blog.csdn.net/pickless/article/details/12034365
才意识到可以在整个区间的每一点切开，然后分别计算左子区间和右子区间的最大值，然后再用O(n)时间找到整个区间的最大值。
看来以后碰到与2相关的问题，一定要想想能不能用二分法来做！

下面复制pickless的讲解，我觉得我不能比他讲的更好了
O(n^2)的算法很容易想到：找寻一个点j，将原来的price[0..n-1]分割为price[0..j]和price[j..n-1]，分别求两段的最大profit。进行优化：对于点j+1，求price[0..j+1]的最大profit时，很多工作是重复的，在求price[0..j]的最大profit中已经做过了。类似于Best Time to Buy and Sell Stock，可以在O(1)的时间从price[0..j]推出price[0..j+1]的最大profit。
但是如何从price[j..n-1]推出price[j+1..n-1]？反过来思考，我们可以用O(1)的时间由price[j+1..n-1]推出price[j..n-1]。最终算法：数组l[i]记录了price[0..i]的最大profit，数组r[i]记录了price[i..n]的最大profit。已知l[i]，求l[i+1]是简单的，同样已知r[i]，求r[i-1]也很容易。最后，我们再用O(n)的时间找出最大的l[i]+r[i]，即为题目所求。

package Level4;

import java.util.Arrays;

/**
* Best Time to Buy and Sell Stock III
*
* Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).
http://blog.csdn.net/pickless/article/details/12034365 *
*/
public class S123 {

public static void main(String[] args) {
// int[] prices = {3,3,5,0,0,3,1,4};
int[] prices = {2,1,2,0,1};
System.out.println(maxProfit(prices));
}

// 基本思想是分成两个时间段，然后对于某一天，计算之前的最大值和之后的最大值
public static int maxProfit(int[] prices) {
if(prices.length == 0){
return 0;
}

int max = 0;
// dp数组保存左边和右边的利润最大值
int[] left = new int[prices.length]; // 计算[0,i]区间的最大值
int[] right = new int[prices.length]; // 计算[i,len-1]区间的最大值

process(prices, left, right);

// O(n)找到最大值
for(int i=0; i<prices.length; i++){
max = Math.max(max, left[i]+right[i]);
}

return max;
}

public static void process(int[] prices, int[] left, int[] right){
left[0] = 0;
int min = prices[0]; // 最低买入价

// 左边递推公式
for(int i=1; i<left.length; i++){
left[i] = Math.max(left[i-1], prices[i]-min); // i的最大利润为（i-1的利润）和（当前卖出价和之前买入价之差）的较大那个
min = Math.min(min, prices[i]); // 更新最小买入价
}

right[right.length-1] = 0;
int max = prices[right.length-1]; // 最高卖出价
// 右边递推公式
for(int i=right.length-2; i>=0; i--){
right[i] = Math.max(right[i+1], max-prices[i]); // i的最大利润为（i+1的利润）和（最高卖出价和当前买入价之差）的较大那个
max = Math.max(max, prices[i]); // 更新最高卖出价
}

// System.out.println(Arrays.toString(left));
// System.out.println(Arrays.toString(right));
}

}


下面的解法主要是能把两次的限制推广到k次交易：
这道题是Best Time to Buy and Sell Stock的扩展，现在我们最多可以进行两次交易。我们仍然使用动态规划来完成，事实上可以解决非常通用的情况，也就是最多进行k次交易的情况。
这里我们先解释最多可以进行k次交易的算法，然后最多进行两次我们只需要把k取成2即可。我们还是使用“局部最优和全局最优解法”。我们维护两种量，一个是当前到达第i天可以最多进行j次交易，最好的利润是多少（global[i][j]），另一个是当前到达第i天，最多可进行j次交易，并且最后一次交易在当天卖出的最好的利润是多少（local[i][j]）。下面我们来看递推式，全局的比较简单，

global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])，也就是去当前局部最好的，和过往全局最好的中大的那个（因为最后一次交易如果包含当前天一定在局部最好的里面，否则一定在过往全局最优的里面）。
全局（到达第i天进行j次交易的最大收益） = max{局部（在第i天交易后，恰好满足j次交易），全局（到达第i-1天时已经满足j次交易）}

对于局部变量的维护，递推式是
local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff)，也就是看两个量，第一个是全局到i-1天进行j-1次交易，然后加上今天的交易，如果今天是赚钱的话（也就是前面只要j-1次交易，最后一次交易取当前天），第二个量则是取local第i-1天j次交易，然后加上今天的差值（这里因为local[i-1][j]比如包含第i-1天卖出的交易，所以现在变成第i天卖出，并不会增加交易次数，而且这里无论diff是不是大于0都一定要加上，因为否则就不满足local[i][j]必须在最后一天卖出的条件了）。
局部（在第i天交易后，总共交易了j次） =  max{情况2，情况1}
情况1：在第i-1天时，恰好已经交易了j次（local[i-1][j]），那么如果i-1天到i天再交易一次：即在第i-1天买入，第i天卖出（diff），则这不并不会增加交易次数！【例如我在第一天买入，第二天卖出；然后第二天又买入，第三天再卖出的行为  和   第一天买入，第三天卖出  的效果是一样的，其实只进行了一次交易！因为有连续性】
情况2：第i-1天后，共交易了j-1次（global[i-1][j-1]），因此为了满足“第i天过后共进行了j次交易，且第i天必须进行交易”的条件：我们可以选择1：在第i-1天买入，然后再第i天卖出（diff），或者选择在第i天买入，然后同样在第i天卖出（收益为0）。

上面的算法中对于天数需要一次扫描，而每次要对交易次数进行递推式求解，所以时间复杂度是O(n*k)，如果是最多进行两次交易，那么复杂度还是O(n)。空间上只需要维护当天数据皆可以，所以是O(k)，当k=2，则是O(1)。
http://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/23236995
public class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
return max(prices, 2);
}

public int max(int[] prices, int k) { // k: k times transactions
int len = prices.length;
if(len == 0) {
return 0;
}
int[][] local = new int[len][k+1]; // local[i][j]: max profit till i day, j transactions, where there is transaction happening on i day
int[][] global = new int[len][k+1]; // global[i][j]: max profit across i days, j transactions
for(int i=1; i<len; i++) {
int diff = prices[i] - prices[i-1];
for(int j=1; j<=k; j++) {
local[i][j] = Math.max(global[i-1][j-1]+Math.max(diff,0), local[i-1][j]+diff);
global[i][j] = Math.max(global[i-1][j], local[i][j]);
}
}
return global[len-1][k];
}
}