完全背包问题（二）

完全背包问题：
一问题描述：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。

第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

二问题实质：

(1)与 01 背包不同，每个物品有多个，每种物品可以选择k个。

且必须有 c[i] * k <= v 。

解决方法：

一

(1) 将完全背包转化为01背包问题，即第i种物品可以变成k个物品，且c[i] * k <= v 。

(2) 然后对问题用01背包的算法进行解决。

二

利用如下伪代码：

for(int i = 0 ; i < T ; i++)

for(int v = c[i] ;v <= V ;v++)

f[v] = max(f[v] , f[v - c[i]] + w[i]) ;

此处问题发现 与01背包问题，只有在v的循环方向上不同，原因是

01背包必须保证，每个物品只选择一次，而第i个物品选择的必然是

第i-1次的物品，而不允许含有第i次得选择。

完全背包则保证，每个物品均可以选择多个。

所以第i个物品选择时，可以包含本次的各个重量的选择。

三代码如下：

#include <iostream>

using namespace std ;

const int V = 1000 ; //总的体积

const int T = 5 ; //物品的种类

int f[V+1] ;

#define max(a,b) a>b?a:b

#define EMPTY //可以不装满

int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5}; //价值

int c[T] = {500 , 600 , 400 , 400 , 400}; //每一个的体积

int i;

const int INF = -66536 ;

int package()

{

//#ifdef EMPTY

for( i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译，表示背包可以不存储满

f[i] = 0 ;

/**//*#else

f[0] = 0 ;

for( i = 1 ; i <= V ;i++)//条件编译，表示背包必须全部存储满

f[i] = INF ;

#endif

*/

for(i = 0 ; i < T ; i++)

{

for(int v = c[i] ; v <= V ;v++) //必须全部从V递减到0

{

f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v]) ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。

}

}

return f[V] ;

}

int main()

{

int temp = package() ;

cout<<temp<<endl ;

system("pause") ;

return 0 ;

}