如何理解极限的定义

极限是研究变量变化的过程，并通过变化的过程来把握变化的结果。一般来说一个函数某个点的结果是由函数确定了的，所以一个函数某个点的值一般就等于其极限。除非是提前，把那个点给挖走了，否则在那个变化过程中是没有什么办法能阻止变化的趋势的。但是也不能说极限就一定等于其函数值。

要理解好极限的定义，可以先从简单的，描述性的定义入手，然后再转到严格的数学定义上去。

描述性定义是这样的： 当自变量x无限接近于定点 x0 时，函数 f(x) 无限接近于定值 a,那么定值 a 就称做函数 f（x）在x0的极限，记做 f '(x) = a.

换成更通俗的语言：你这样变的时候，我就那样变。

但是这个定义虽然形象，但是无限接近 是怎么个接近，这种词语只能用在文学创作上，不能用在数学定义上。

所以这里的关键是如何用数学语言来表达无限接近。

换个思维，无限接近实际上就是距离越来越少。所以可以将“自变量x无限接近于定点 x0”，转变成动点x离定点x0的距离 |x-x0|越来越小 ,如果 |x-x0| < a ,而且a又是可以要多小就有多小的正数，就用数学表达了无限接近的意思了。

我们再来看看极限的标准数学定义：

设函数是f(x)在某去心邻域有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数@（无论多么小），总存在正数&，使得当x满足不等式的时候0<|x-x0|<&时，对应的函数值满足：

|f(x)-A|<@ ,那么常数A就叫做f(x)的极限。

可以把这个定义的句子顺序调一下，就看的更清楚：

如果 0< |x - x0| < & （&为任意正数），|f(x)-A| < @ （@
任意小），常数A 就叫做 f(x) 的极限。

OK，就是这么简单，理解这个定义的关键点就是 明白 无限接近某个数 等价于用一个动点减去哪个定点的绝对值来表示。