每日一算法:筛选法求素数
2013-11-05 20:00
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筛选求质数
说明除了自身之外,无法被其它整数整除的数称之为质数,要求质数很简单,但如何快速的求出质数则一直是程式设计人员与数学家努力的课题,在这边介绍一个着名的 Eratosthenes求质数方法。
解法首先知道这个问题可以使用回圈来求解,将一个指定的数除以所有小于它的数,若可以整除就不是质数,然而如何减少回圈的检查次数?如何求出小于N的所有质数?
首先假设要检查的数是N好了,则事实上只要检查至N的开根号就可以了,道理很简单,假设A*B = N,如果A大于N的开根号,则事实上在小于A之前的检查就可以先检查到B这个数可以整除N。不过在程式中使用开根号会精确度的问题,所以可以使用 i*i <= N进行检查,且执行更快。
再来假设有一个筛子存放1~N,例如:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ........ N
先将2的倍数筛去:
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 ........ N
再将3的倍数筛去:
2 3 5 7 11 13 17 19 ........ N
再来将5的倍数筛去,再来将7的质数筛去,再来将11的倍数筛去........,如此进行到最后留下的数就都是质数,这就是Eratosthenes筛选方法(Eratosthenes Sieve Method)。
检查的次数还可以再减少,事实上,只要检查6n+1与6n+5就可以了,也就是直接跳过2与3的倍数,使得程式中的if的检查动作可以减少。
说明除了自身之外,无法被其它整数整除的数称之为质数,要求质数很简单,但如何快速的求出质数则一直是程式设计人员与数学家努力的课题,在这边介绍一个着名的 Eratosthenes求质数方法。
解法首先知道这个问题可以使用回圈来求解,将一个指定的数除以所有小于它的数,若可以整除就不是质数,然而如何减少回圈的检查次数?如何求出小于N的所有质数?
首先假设要检查的数是N好了,则事实上只要检查至N的开根号就可以了,道理很简单,假设A*B = N,如果A大于N的开根号,则事实上在小于A之前的检查就可以先检查到B这个数可以整除N。不过在程式中使用开根号会精确度的问题,所以可以使用 i*i <= N进行检查,且执行更快。
再来假设有一个筛子存放1~N,例如:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ........ N
先将2的倍数筛去:
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 ........ N
再将3的倍数筛去:
2 3 5 7 11 13 17 19 ........ N
再来将5的倍数筛去,再来将7的质数筛去,再来将11的倍数筛去........,如此进行到最后留下的数就都是质数,这就是Eratosthenes筛选方法(Eratosthenes Sieve Method)。
检查的次数还可以再减少,事实上,只要检查6n+1与6n+5就可以了,也就是直接跳过2与3的倍数,使得程式中的if的检查动作可以减少。
#include <stdio.h> #define N 1000000 int main() { int i,j; char prime[N+1]; for (i=2; i<=N;i++) { prime[i] = 1; } for (i=2; i*i<=N; i++) { if (prime[i] == 1) { for (j=2*i; j<=N; j+=i) { if (j % i == 0) { prime[j] = 0; } } } } printf("\t2\t3"); for (i=5; i<N; i+=2) { if (prime[i] == 1) { printf("\t%d",i); } } printf("\n"); return 0; }
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