直线分割圆-公式递推

题目：

圆上有N个点，每个点和其他所有点之间都有直线相连。并且任意3线不共点。计算这些直线把圆分割所得的区域的数量K。

例如：N = 2，K = 2，N = 3，K = 4。由于结果可能会很大，输出K Mod (10^9 + 7)的结果。

Input

输入：1个数N。(2 <= N <= 10^9)

Output

输出数量 Mod 10^9 + 7

Input 示例

2

Output 示例

2

题目分析：

参考：http://bbs.csdn.net/topics/300104643
直接这样考虑就行了：

线段（An+1，Ai）左边有i-1个点，右边有n-i个点，

显然，任意左右两点间的连线都与（An+1，Ai）相交，总共是(i-1)*(n-i)个交点

所以增加的块数是(i-1)*(n-i)+1

这样，增加一个点后，总共增加：∑[(i-1)*(n-i)+1]块，其中i从1到n求和。

这个求和仅用到平方与自然数数列和公式，结果立等可取：n(n^2-3n+8)/6

于是，递推公式为：

f(n+1)=f(n)+n(n^2-3n+8)/6

利用f(1)=1，累加起来有f(n)=1+∑i(i^2-3i+8)/6，其中i从1到n-1。

这个求和最多用到三次数列的求和，结果依然立等可取：f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24

解法二：

先分析：

增加一个点后其中的一个典型线段所多划分的区域显然是O(n^2)，所以总共增加的区域数为O(n^3)

递加项是O(n^3)，显然通项那就是O(n^4)的，也就是说f(n)是个四次多项式，即

f(n)=a*n^4 + b*n^3 + c*n^2 + d*n +e

五个参数，需要五个方程

手绘1-5的情况，可以数得：f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8,f(5)=16

联立之后即可解出通项公式

 

关键代码：

 

ans = ( n4 - n3 * 6 + n2 * 23 - n * 18 + 24 ) / 24 % P;
if( ans < 0 ) ans += P;
return (int) ans;