构造矩阵解决线性递推问题
2013-10-29 15:21
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对于”把一个向量v变成另一个向量v',并且v'的每一个分量都是v的各个分量的线性组合”这样的问题,一般都可以考虑用矩阵乘法来描述他们的变化关系。而用矩阵乘法的好处在于,可以使用快速幂来优化时间复杂度,将原本O(n)的递推优化到O(logn)。
解决这类问题,最简单也最常见的例子莫过于求Fibonacci数列中的第n项,比如POJ 3070 Fibonacci。并且,题目已经构造好了转化矩阵,见下图。
.
注意,这样的方法只能求出最标准的Fibonacci数列的第n项,即1,1,2,3,5...如果F(0)和F(1)改变,还需要对这个等式稍做变动。这样的题,比如HDU 3221 Brute-force Algorithm,题解见/article/7130952.html。
Fibonacci数列的递推公式为f(n) = f(n-1) + f(n-2),但是,如果递推公式的系数稍作改变呢?对数列d(n) = d(n-1)*p + d(n-2)*q。
图中,左上的矩阵记为D(1),右上的矩阵记为D(n),右下的矩阵记为cnt。
则D(n) = D(1) * cnt^(n-1)。
这个公式的应用,比如POJ 3744 Scout YYF I,题解为/article/7130944.html。
当然,很多时候线性递推式都并不是只有只含有f(n-1)和f(n-2)两项的。当f(n) = a(1)*f(n-1) + a(2)*f(n-2) +...+a(d)*f(n-d)的时候,公式如下。
记F(n)为
,A为
,则有F(n) = F(n-1) * A。
题目为UVa 10870,题解见/article/7130952.html,解法参考刘汝佳出版的《算法竞赛入门经典训练指南》。
解决这类问题,最简单也最常见的例子莫过于求Fibonacci数列中的第n项,比如POJ 3070 Fibonacci。并且,题目已经构造好了转化矩阵,见下图。
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注意,这样的方法只能求出最标准的Fibonacci数列的第n项,即1,1,2,3,5...如果F(0)和F(1)改变,还需要对这个等式稍做变动。这样的题,比如HDU 3221 Brute-force Algorithm,题解见/article/7130952.html。
Fibonacci数列的递推公式为f(n) = f(n-1) + f(n-2),但是,如果递推公式的系数稍作改变呢?对数列d(n) = d(n-1)*p + d(n-2)*q。
图中,左上的矩阵记为D(1),右上的矩阵记为D(n),右下的矩阵记为cnt。
则D(n) = D(1) * cnt^(n-1)。
这个公式的应用,比如POJ 3744 Scout YYF I,题解为/article/7130944.html。
当然,很多时候线性递推式都并不是只有只含有f(n-1)和f(n-2)两项的。当f(n) = a(1)*f(n-1) + a(2)*f(n-2) +...+a(d)*f(n-d)的时候,公式如下。
记F(n)为
,A为
,则有F(n) = F(n-1) * A。
题目为UVa 10870,题解见/article/7130952.html,解法参考刘汝佳出版的《算法竞赛入门经典训练指南》。
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