重玩动态规划二 LCS 最长公共子序列

//最长公共子序列 LCS
/*
问题描述：

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X=<x1, x2,…, xm>，则另一序列Z=<z1, z2,…, zk>是X的子序列是
指存在一个严格递增的下标序列 <i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k
有
Xij=Zj
例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X=<A, B, C, B, D, A, B>和Y=<B, D, C, A, B, A>，则序列<B, C, A>是X和Y的一个公共子序列，
序列<B, C, B, A>也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

*/

//#1问题分解
//只求最长公共子序列的长度
//这C[i][j]是X[0]--X[i]与Y[0]--Y[j]的最长公共子序列长度
/*
c[i][j]=  c[i-1][j-1] xi==yi
max(c[i][j-1],c[i-1][j])   xi!=yi
*/

//求C[i][j]与求编辑距离类似，
//由于C[i][j]的值可能与C[i-1][j-1],C[i-1][j],C[i][j-1]有关，所以整个二维表都要填值
//时间复杂度为O(m*n),
//空间复杂度为O(m*n)
int maxC(const char * a,const char *b){
int i,j,k=0;
//初始化计数空间
int n = strlen(a);
int m = strlen(b);
int **c = new int * [n+1];//c是从0计算到n，n+1位
for(i=0;i<n+1;i++){
c[i]=new int [m+1];
}
//初值
for(j=1;j<n+1;j++){
for(k=1;k<m+1;k++){
c[j][k]=-1;//初始化
}
}
//起始点
for(k=0;k<m+1;k++){
c[0][k]=0;
}
for(j=0;j<n+1;j++){
c[j][0]=0;
}
//调用 二维数组推算
for(j=1;j<n+1;j++){
for(k=1;k<m+1;k++){
if(a[j-1]==b[k-1]){
c[j][k]=c[j-1][k-1]+1;
}else{
int x1 =c[j-1][k];
int x2 =c[j][k-1];
c[j][k]=x1>x2? x1:x2;
}
}
}

int des=c
[m];

//销毁内存

for (i=0;i<n;i++)
{
delete[] c[i];
}
delete[] c;
return des;
}

//###2 利用求解lcs的长度构建LCS，由于在建立C的时候考虑到了选择，那么用额外的O(m*n)空间，将这个选择记录
//建立完成C之后，伴随建立完成记录表，且知道LCS的长度，那么我们可以重新构造LCS
char * lcs(const char * x,const char *y){
int i,j,k=0;
//初始化计数空间
int n = strlen(x);
int m = strlen(y);
int **c = new int * [n+1];//c是从0计算到n，n+1位 //c是LCS的长度
int **b = new int * [n+1];//b是c造成的原因
for(i=0;i<n+1;i++){
c[i]=new int [m+1];
b[i]=new int [m+1];
}
//初值
for(j=1;j<n+1;j++){
for(k=1;k<m+1;k++){
c[j][k]=-1;//初始化
}
}
//起始点
for(k=0;k<m+1;k++){
c[0][k]=0;
b[0][k]=-1;
}
for(j=0;j<n+1;j++){
c[j][0]=0;
b[k][0]=-1;
}
//调用 二维数组推算
for(j=1;j<n+1;j++){
for(k=1;k<m+1;k++){
if(x[j-1]==y[k-1]){
c[j][k]=c[j-1][k-1]+1;
b[j][k]=0;               //状态0  斜上导致
}else{
int x1 =c[j-1][k];
int x2 =c[j][k-1];
if(x1>x2){
c[j][k]=x1;
b[j][k]=1;           //状态1  上面导致
}else{
c[j][k]=x2;
b[j][k]=2;           //状态2  左边导致
}

}
}
}

///////////////////////////////////////////////////////////////////
//构造LCS
//注意while的循环次数，每次至少使i或者j-1，即最多为i+j次，即m+n次，时间复杂度为O(m+n)
//空间复杂度为O(min(m,n)),LCS最长不超过m，n最小值
int length=c
[m];
char * lcs = new char[length+1]; //最后一位要标记'\0'
int l=length;
i=n;
j=m;
lcs[length]=0;
while(i>0 || j>0){
if(l<=0)break;//构造完成
if(b[i][j]==0){
lcs[l-1]=x[i-1];
l--;
i--;j--;
}
else if(b[i][j]==1){ //x[i-1][j]
i--;
}else{
j--;
}
}

//销毁内存

for (i=0;i<n;i++)
{
delete[] c[i];
}
delete[] c;
return lcs;
}