半数集问题

问题描述：

给定一个自然数n，由n 开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。

(1) n∈set(n)；

(2) 在n 的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；

(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。

例如，set(6)={6,16,26,126,36,136}。半数集set(6)中有6 个元素。

注意半数集是多重集。

算法设计：

对于给定的自然数n，计算半数集set(n)中的元素个数

解题思路

半数集的公式是



一 递归过程分析

通过分析所描述问题的特点可知，半数集set(n)中元素个数的求解是个递归的过程。设set(n)中的元素个数为f(n)，则显然有递归表达式：

f(n)=1+∑f(i)，i=1,2……n/2

据此，可很容易设计出求f(n)的递归算法如下：

int Set(int num)

{
int ans=1;

if(a[num]>0){

return a[num];

}

if(num>1){

for(int i=1;i<=num/2;i++){

ans+=Set(i);

}

}

a[num]=ans;

return ans;

}

对于此递归过程，是存在有缺陷的，即有很多的重复子问题计算。比如说：当n=4时，f(4)=1+f(1)+f(2)，而f(2)=1+f(1)，因此，在计算f(2)的时候又要重复计算一次f(1)。更进一步，当n较大时，类似的重复子问题计算将会变得非常多。

二 改进的递归算法

可以对如上的递归算法进行改进，用数组来存储已计算过的子问题结果，就可以避免重复，提高算法效率。改进的递归算法如下：

int Set(int num)

{
int ans=1;

if(a[num]>0){

return a[num];

}

if(num>1){

for(int i=1;i<=num/2;i++){

ans+=Set(i);

}

}

a[num]=ans;

return ans;

}

代码部分：

public class HalfSet {

int Set(int num){

int[] a=new int[1000];

for(int i=0;i<num;i++){

a[i]=0;

}

int ans=1;

if(a[num]>0){//改进后的递归，避免多次重复计算已经计算过的数

return a[num];

}

if(num>1){

for(int i=1;i<=num/2;i++){

ans+=Set(i);

}

}

a[num]=ans;

return ans;

}

/**

* @param args

*/

public static void main(String[] args) {

HalfSet hs=new HalfSet();

System.out.println("请输入要验证的数字");

Scanner sc=new Scanner(System.in);

int n=sc.nextInt();

System.out.println(hs.Set(n));

}

}