约瑟夫环问题两解

继续笔试准备ing……分享一下昨天做到的其中一题，其实题目很老，也做过n遍了，但复习起来也是颇有韵味，同时还发现另一种妙解，感觉不错的。

问题描述：

约瑟夫环问题(Josephus)

用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）

解法一(My Solution)：

思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。

代码：

/*
约瑟夫环问题(Josephus)
用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
Code By Eric Yang 2009 http://ericyang.cnblogs.com */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 链表节点
typedef struct _RingNode
{
int pos;  // 位置
struct _RingNode *next;
}RingNode, *RingNodePtr;

// 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数
void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)
{
RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;
int i = 1;
pPrev = pHead;
while(--count > 0)
{
pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
i++;
pCurr->pos = i;
pPrev->next = pCurr;
pPrev = pCurr;
}
pCurr->next = pHead;  // 构成环状链表
}

void PrintRing(RingNodePtr pHead)
{
RingNodePtr pCurr;
printf("%d", pHead->pos);
pCurr = pHead->next;
while(pCurr != NULL)
{
if(pCurr->pos == 1)
break;
printf("\n%d", pCurr->pos);
pCurr = pCurr->next;
}
}

void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)
{
RingNodePtr pCurr, pPrev;
int i = 1;    // 计数
pCurr = pPrev = pHead;
while(pCurr != NULL)
{
if (i == m)
{
// 踢出环
printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序
pPrev->next = pCurr->next;
free(pCurr);
pCurr = pPrev->next;
i = 1;
}
pPrev = pCurr;
pCurr = pCurr->next;
if (pPrev == pCurr)
{
// 最后一个
printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序
free(pCurr);
break;
}
i++;
}
}

int main()
{
int m = 0, n = 0;
RingNodePtr pHead = NULL;
printf("---------------Josephus Ring---------------\n");
printf("N(person count) = ");
scanf("%d", &n);
printf("M(out number) = ");
scanf("%d", &m);
if(n <= 0 || m <= 0)
{
printf("Input Error\n");
system("pause");
return 0;
}
// 建立链表
pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
pHead->pos = 1;
pHead->next = NULL;
CreateRing(pHead, n);
#ifdef _DEBUG
PrintRing(pHead);
#endif

// 开始出圈
printf("\nKick Order: ");
KickFromRing(pHead, m);
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}

解法二(From Net)：

思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1)
出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

int joseph(int n,int m)
{
int *f = new int[n+1];
f[0]=f[1]=0;
for (int i=2; i<n+1; ++i)
{
f[i] = (f[i-1]+m%i)%i;
}
int result = f
;
delete []f;

return result;
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。