01背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用(体积)是C[i]，价值是W[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
显然这个问题的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

我主要针对动态规划方法，关于这个问题的文章网上已经相当的多，不过我想把自己的思路和一点想法写下来，也算对这个问题的一点体会吧。

依次考虑N件物品，对于容量为v的背包在处理第i件物品时获得的最大价值F，显然有如下递推式：

IF 第i件物品的费用(体积)C[i]>v


THEN 第i件物品必然无法加入背包，F[i][v]=F[i-1][v]

ELSE是否加入第i件物品需考虑加入背包后是否划算，在这里可以认为这个第i件物品优先加入背包，

那么有 F[i][v]=max{F[i-1][v],F[i-1][v-C[i]]+W[i]}

现在来解释一下上面这个最关键的状态转移方程！

当前背包容量为v，即将处理第i件物品。显然有如下两种方案，出现了最优子结构性质：

a.若第i件物品加入背包，装入这前i件物品获得的最大价值F[i][v]，必然等于第i件物品的价值W[i]再加上向容量为v-C[i]的背包装入前i-1件物品这个子问题的最大价值F[i-1][v-C[i]] (先把第i件物品加入背包，然后考虑安排剩余的空间容量)

b.若不加入第i件物品，装入这前i件物品的获得的最大价值F[i][v]，必然等于向容量为v的背包装入前i-1件物品这个子问题获得的最大价值F[i-1][v]

显然，当前问题的最大价值F[i][v]取上面两种方案的较大值！

代码如下：

import java.util.Scanner;

/**
 * 01背包问题
 * @author honest
 *
 */
public class ZeroOnePack {
	public static void main(String[] args) {
		int N;  //背包数目
		int[] weight; //单个物品重量
		int[] value; //单个物品价值
		int[][] values ; //存放价值
		int maxValue;  //最大价值
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		maxValue=in.nextInt();
		N=in.nextInt();
		weight=new int[N+1];
		value=new int[N+1];
		values=new int[N+1][maxValue+1];
		for(int i=1;i<=N;i++){
			weight[i]=in.nextInt();
			value[i]=in.nextInt();
		}

		for(int i=0;i<=N;i++)
			values[i][0]=0;
		for(int i=0;i<=maxValue;i++)
			values[0][i]=0;

		for ( int i = 1; i <= N; i++){
			for ( int j = 1; j<=maxValue; j++){
				if(weight[i]>j){
					values[i][j]=values[i-1][j];
				}else {
					values[i][j]=Math.max(values[i-1][j-weight[i]]+value[i], values[i-1][j]);
				}
			}
		}

		//反向找出选出的背包
		int j=maxValue;
		for(int i=N;i>0;i--){
			if(values[i][j]>values[i-1][j]){
				System.out.print(i+"  ");
				j=j-value[i];
				if(j<0) break;
			}
		}

		in.close();

	}
}

测试数据：

Sample Input

10 3

3 3

7 7

9 9

Sample Output

10

Sample Input

6 5

1 1

3 5

3 10

8 6

5 7

Sample Output

15

01背包问题空间的改进

核心思想：

for i:=1 to N do

for j=V downto c[i] do

if f[j-c[i]]+w[i]>f[j] then

f[j]=f[j-c[i]]+w[i];

思路与上面的相同，但是减少了空间的使用，有些acm题就是限制空间大小，比如Timus1005，只不过此种方法没有记忆相应的信息，所以在最后如果需要知道是取出了哪几个包的话，是不行不通的，具体看以参看这篇文章：

http://blog.csdn.net/tr990511/article/details/7595854

import java.util.Scanner;
/**
 * 01背包问题2
 * @author honest
 */
public class ZeroOnePack {
	public static void main(String[] args) {
		int N;  //背包数目
		int[] weight; //单个物品重量
		int[] value; //单个物品价值
		int[] values ; //存放价值
		int maxValue;  //最大价值
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		maxValue=in.nextInt();
		N=in.nextInt();
		weight=new int[N+1];
		value=new int[N+1];
		values=new int[maxValue+1];
		for(int i=1;i<=N;i++){
			weight[i]=in.nextInt();
			value[i]=in.nextInt();
		}

		for(int i=0;i<=maxValue;i++)
			values[i]=0;

		for ( int i = 1; i <= N; i++){
			for ( int j = maxValue; j>=weight[i]; j--){
				values[j]=Math.max(values[j-weight[i]]+value[i], values[j]);
			}
		}
		System.out.println(values[maxValue]);
		in.close();
           }
	}

介绍摘自/article/3537779.html