GF(2^8)乘法优化

利用指数表和对数表，实现GF(2^8)的乘法优化。

首先利用简单的基础的GF(2^8)乘法，构造指数表和对数表。在这里选取生成元3。

指数表exp[i] = 3^i，对数表log[i] = log3(i)。

要实现x 与 y 相乘，首先利用对数表找出3^m = x, 3^n = y，这时的乘法就是 x * y = 3^m * 3^n = 3^(m+n)，然后利用指数表找到exp[m+n]对应的值。

因此所有的乘法都变成了查表操作，提高了效率。但是对于数域较大时，保存对数表和指数表的空间要求较高。典型的牺牲空间换取时间。

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
unsigned char exp[256];         //exp[i] = 3^i
unsigned char log[256];         //log[i] = log3(i)

unsigned char GFmul(unsigned char a, unsigned char b){
//GF(2^8) 乘法
unsigned char result = 0;
if((b&1) == 1)result = a;
b >>= 1;
for(int i = 1; i < 8; i ++){
if(a > 127){
a = (a << 1) ^ 0x1b;
}
else{
a <<= 1;
}
if((b&1) == 1){
result ^= a;
}
b >>= 1;
}
return result;
}
void generateMulTab(){
//选择生成元3作为构造乘法表的基础
const int N = 3;
unsigned char tmp = 1;
for(int i = 1; i < 256; i ++){
tmp = GFmul(tmp, N);
exp[i] = tmp;
log[tmp] = i;
}
}
unsigned char GFfastMul(unsigned char x, unsigned char y){
//利用exp和log来查表实现乘法
if(x == 0 || y == 0)return 0;
//x = 3^m, y = 3 ^ n;   x * y = 3^m * 3^n = 3^(m+n)
int m = log[x], n = log[y];
return exp[(m+n)>255?(m+n-255):(m+n)];
}

int main(){
//单元测试，乘法打表
generateMulTab();
int count[256];
for(int i = 0; i < 256; i ++)count[i] = 0;
unsigned char x, y;
x = 0;
do{
y = 0;
do{
count[GFfastMul(x, y)] ++;
y ++;
}while(y != 0);
x ++;
}while(x != 0);
ofstream write("Test.txt");
for(int i = 0; i < 256; i ++)write<<i<<"\t"<<count[i]<<endl;
write.close();
return 0;
}

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