期望-pku-oj-1055:Tree
2013-10-15 08:43
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题目链接:
http://poj.openjudge.cn/practice/1055/
题目意思:
给出的树最大节点个数为n的情况下,求树上点深度的期望。
解题思路:
数学期望公式的推导。
自己先画下nodes=1时 p[1]=1
nodes=2时,p[2]=0.5*1+0.5*2=3/2
nodes=3时,p[3]=11/6
nodes=4时,p[4]=50/24
nodes=5时,p[5]=274/120
.......其实p
就是调和级数h
=1+1/2+1/3+1/4+...1/n.啊。。。当时智商没看出来。。。。
正规推法:
记f[i]为第i个节点的深度期望,则放第i个节点时,前面的树的结构上有i-1个节点,第i个节点作为每个节点的儿子概率相同都为1/i-1.f[i]=1/(i-1)*(f[1]+1)+(i-1)*(f[2]+1)+...1/(i-1)*(f[i-1]+1)=1+1/(i-1)*sigma(f[k])(k从1到i-1);
记前i个节点的平均期望为E[i],则E[i]=sigma(f[k])/i(k从1到i).
则f[i]=E[i-1]+1. 则E[i]=(f[1]+f[2]+..+f[i-1])+f[i])/i=((i-1)*E[i-1]+E[i-1]+1)/i=E[i-1]+1/i; 所以E[i]=1+1/2+1/3+1/4+.....1/i.
则ans=sigma(E[k])/n(k从1到n)
可以推出ans=(n+1)/n*h
-1. //h
为调和级数
当n很小时,可以直接暴力。当n很大时,h
趋近与ln(n)+C C为欧拉常数(大概0.577216),可以暴力打出来。
代码:
http://poj.openjudge.cn/practice/1055/
题目意思:
给出的树最大节点个数为n的情况下,求树上点深度的期望。
解题思路:
数学期望公式的推导。
自己先画下nodes=1时 p[1]=1
nodes=2时,p[2]=0.5*1+0.5*2=3/2
nodes=3时,p[3]=11/6
nodes=4时,p[4]=50/24
nodes=5时,p[5]=274/120
.......其实p
就是调和级数h
=1+1/2+1/3+1/4+...1/n.啊。。。当时智商没看出来。。。。
正规推法:
记f[i]为第i个节点的深度期望,则放第i个节点时,前面的树的结构上有i-1个节点,第i个节点作为每个节点的儿子概率相同都为1/i-1.f[i]=1/(i-1)*(f[1]+1)+(i-1)*(f[2]+1)+...1/(i-1)*(f[i-1]+1)=1+1/(i-1)*sigma(f[k])(k从1到i-1);
记前i个节点的平均期望为E[i],则E[i]=sigma(f[k])/i(k从1到i).
则f[i]=E[i-1]+1. 则E[i]=(f[1]+f[2]+..+f[i-1])+f[i])/i=((i-1)*E[i-1]+E[i-1]+1)/i=E[i-1]+1/i; 所以E[i]=1+1/2+1/3+1/4+.....1/i.
则ans=sigma(E[k])/n(k从1到n)
可以推出ans=(n+1)/n*h
-1. //h
为调和级数
当n很小时,可以直接暴力。当n很大时,h
趋近与ln(n)+C C为欧拉常数(大概0.577216),可以暴力打出来。
代码:
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<sstream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #include<map> #include<set> #include<stack> #include<list> #include<queue> #include<ctime> #include<bitset> #define eps 1e-6 #define INF 0x3f3f3f3f #define PI acos(-1.0) #define ll __int64 #define LL long long #define lson l,m,(rt<<1) #define rson m+1,r,(rt<<1)|1 #define M 1000000007 #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") using namespace std; #define Maxn 1100000 double h[Maxn]; int main() { int m=1000000; h[1]=1; for(int i=2;i<=m;i++) h[i]=h[i-1]+1.0/(i*1.0); double la=h[m]-log(m*1.0); //求出欧拉常数 //printf("%lf\n",la); LL n; // printf("%lf\n",13.0/9.0); while(~scanf("%lld",&n)) { if(n<=m) //直接算 printf("%.8lf\n",(n+1.0)/(n*1.0)*h -1.0); else { double temp=log(n*1.0)+la; //用等价的极限近似值代替 printf("%.8lf\n",(n+1.0)/(n*1.0)*temp-1.0); } } return 0; }
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