算法导论 5.1-2
2013-10-14 10:32
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1 题目
描述RANDOM(a,b)过程的一种实现,它只调用RANDOM(0,1)。作为a和b的函数,你的程序的期望运行时间是多少?2 分析与解答
RANDOM(0,1)以等概率生成0或1,将区间[a,b]中的整数以2进制表示就可以只用0和1来表示区间中的任意数,再设[a,b]中的整数有n位,那么使用RANDOM(0,1)就可以生成n位二进制整数的全集,而区间[a,b]中的整数是n位二进制整数的一个子集,所以RANDOM(0,1)可以生成[a,b]中所有的整数。并且由于每位生成0或1的概率是相同的,且每位生成0或1是相互独立的,所以生成的[a,b]之间的每个整数的概率是相等的,满足RANDOM(a,b)的要求。综上,RANDOM(a,b)只调用RANDOM(0,1)的一种实现步骤是:
计算b的二进制表示的位数,表示为n
使用RANDOM(0,1)生成n位二进制数
若生成的数在[a,b]则返回,若不再区间则递归调用RANDOM(a,b)
2.1 伪代码
RANDOM(a,b) n = compute the bits of b c = 0 for i <- 1 to n do c = c + (RANDOM(0,1) << (i-1)) if a <= c and c <= b then return c return RANDOM(a,b)
2.2 python实现
import random def myrandom(a,b): n = 1 c = 0 tmp = b while tmp/2 > 0: tmp = tmp/2 n += 1 for i in range(0,n): c += (random.randint(0,1) << i) if a <= c and c <= b: return c return myrandom(a,b)
将b的位数n作为衡量运行时间的变量。那么每次有返回的概率是(b-a)/2n,这是个贝努力实验,分布符合几何分布,所以期望为2n/(b-a),所以期望的运行时间为T(n)=Trandom(0,1)(n)*2n/(b-a)。
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