康托展开

康托展开

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，a为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如

{1,2,3}

按从小到大排列一共6个

123

132

213

231

312

321

代表的数字

1

2

3

4

5

6

也就是把10进制数与一个排列对应起来。他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321

如

123

213

小于3的数有1，2

所以有2*2!个

再看小于第二位2的

小于2的数只有一个就是1

所以有1*1!=1

所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个所以321是第6个大的数。

2*2!+1*1!是康托展开

再举个例子

1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数

第一位是1小于1的数没有，是0个

0*3!

第二位是3小于3的数有1，2但1已经在第一位了所以只有一个数2

1*2!

第三位是2小于2的数是1，但1在第一位所以有0个数

0*1!

所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个

1324是第三个大数。
//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶层表　
long cantor(int s[],int n)
{
long int i,j,temp,num;
num=0;
for(i=0;i<n;i++){
temp=0;
for(int j=i+1;j<n;j++){
if (s[j]<s[i]) temp++;//判断几个数小于其
}
num+=fac[n-i-1]*temp;//(或num=num+fac[n-i-1]*temp;)
}
return (num+1);
}