《算法导论（第二版）》习题22.1-6：图的通用汇点（Universal Sink）

问题

 

　　如果我们用邻接矩阵来存储图，那么绝大多数图算法的运行时间都是Ω(|V|2)（V为一个图的顶点集），但还是有些例外。比如，给定一个有向图Ｇ的邻接矩阵Ａ，我们可以在Ο(|V|)时间内判断图G是否包含一个通用汇点，即一个入度为|V|-1出度为0的顶点。请给出这样的算法。

教师手册的解法

 

　　（注：教师手册的解法和我的基本一样，只不过在细节上有略微差别。在我的算法中，“光标”始终在Ａ的对角线和上三角区域中活动，而教师手册的算法则没有这个特点。另外教师手册的阐述貌似更通俗易懂一些。我的论述可能太数学化了。）

　　首先实现一个子过程IS-SINK。该过程判断一个给定的顶点k是不是通用汇点，是则返回TRUE，否则返回FALSE：



[align=left] [/align]

　　因为这个子过程的运行时间是O(|V|)，所以如果要在O(|V|)时间内判断图G是否包含一个通用汇点，我们就只能对该子过程调用O(1)次。

　　同时我们可以注意到，一个有向图最多只能包含一个通用汇点。这是因为，如果某个顶点ｊ是通用汇点，那么对所有的i ≠ j都有(i, j) ∈ E，这样其它顶点i都不可能是通用汇点了。

　　以下算法以邻接矩阵Ａ作为输入，如果Ａ含有通用汇点，该算法会将通用汇点的标识输出，否则会输出“没有通用汇点”的消息。



[align=left] [/align]

 

　　UNIVERSAL-SINK从邻接矩阵的左上角开始，根据当前元素A[i, j]是0还是1，将“光标”向右或向下移动一个位置。当i或j大于|V|时则停止迭代。

　　和我的解法类似，为了证明UNIVERSAL-SINK的正确性，我们需要证明：当while循环终止时，i是唯一有可能是通用汇点的顶点。随后对IS-SINK的调用就是检查i是否符合通用汇点的定义。

　　我们先把while循环终止时i和j的值固定下来。所有符合1 ≤ k < i的顶点k都不可能是通用顶点。这是因为在while循环中，i的值被增大的唯一原因就是当前元素为1，于是在while循环终止时，第i行上方的每一行都包含至少一个1。而根据我们一开始阐述的思路，若第k行有至少一个元素为1，那么k就不可能是通用汇点。

　　如果循环终止时i > |V|，那我们就将所有顶点都排除了，所以G里面不可能有通用汇点。而如果循环终止时i ≤ |V|，我们就需要证明序号大于i而小于等于|V|的顶点都不可能是通用汇点。如果循环终止时i ≤ |V|，那就肯定有j > |V|。这就意味着我们在每一列都找到了0。回顾之前的思路，如果第k列在非对角线位置上有一个0，那么顶点k就不可能是通用汇点。我们在所有的第k（i < k ≤ |V|）列中都发现了0；而我们在while循环中还从没检查过第i行以下的任何一行，也就是说，我们还没检查过这些第k列对角线上的元素，因此这些第k列所包含的0都是在非对角线的位置上。因此所有满足i
< k ≤ |V|的顶点k都不是通用汇点。

　　因此，所有小于ｉ的顶点和所有大于ｉ的顶点都不是通用汇点。唯一可能是通用汇点的就是ｉ。while循环之后对IS-SINK的调用就是检查i是否为通用汇点。

　　和我的算法同理，while循环每次迭代时i或者j都会增加（不过在这里要么是i增加，要么是j增加，且增量始终为1，因此在某些情况下，速度上估计比我的算法稍微慢一丁点儿）。因此，while循环最多只迭代2|V| - 1次，每次迭代的时间都是O(1)，因此while的总时间为O(|V|)。再加上时间复杂度同样为O(|V|)的IS-SINK，UNIVERSAL-SINK的时间复杂度就是O(|V|)。