【面试题】连续子数组乘积最大值与柱状图中找最大矩形

连续子数组求和最大值比较常见，乘积与求和有相通之处。10月9号美团的笔试考到了这题。

第一题：原题

给一个浮点数序列，求连续子串乘积的最大值，例如 -2.5，4，0，3，0.5，8，-1，则取出的最大乘积连续子串为3，0.5，8。也就是说，上述数组中，3 0.5 8这3个数的乘积3*0.5*8=12是最大的，而且是连续的。

解法一：

用动态规划很好做。问题的关键是，序列中有正数也有负数，所以，需要记录最大值，也要记录最小值。

double MaxMul(double *num, int len)
{
if(num == NULL || len < 1)
return 0;

double *maxMul = new double[len];
double *minMul = new double[len];
maxMul[0] = num[0];
minMul[0] = num[0];
double maxM = num[0];
for(int i = 1; i < len; ++i)
{
maxMul[i] = maxMul[i-1]*num[i] > num[i] ? maxMul[i-1]*num[i] : num[i];
maxMul[i] = maxMul[i] > minMul[i-1]*num[i] ? maxMul[i] : minMul[i-1]*num[i];
minMul[i] = minMul[i-1]*num[i] < num[i] ? minMul[i-1]*num[i] : num[i];
minMul[i] = minMul[i] < maxMul[i-1]*num[i] ? minMul[i] : maxMul[i-1]*num[i];
maxM = maxM > maxMul[i] ? maxM : maxMul[i];
}
delete[] maxMul;
delete[] minMul;
return maxM;
}

解法二：

也可以扫一遍序列做出来，不过也要记录最大值和最小值，以及当前的最大值和最小值，当当前的最大值小于1的时候，设置为当前的序列值，呃，感觉语言有点绕，+_+，可以看《剑指offer》面试题31：连续子数组的最大和，类比一下就行了。还是用代码说话吧，逻辑会比较清楚。

double MaxMul2(double *num, int len)
{
if(num == NULL || len < 1)
return 0;

double maxM = num[0];
double maxMul = num[0];
double minMul = num[0];
double maxCur = num[0];
double minCur = num[0];
for(int i = 1; i < len; ++i)
{
if(maxCur < 1)
maxCur = num[i];
else
maxCur *= num[i];
minCur *= num[i];
if(maxCur < minCur)
{
double tmp = maxCur;
maxCur = minCur;
minCur = tmp;
}
maxMul = maxMul > maxCur ? maxMul : maxCur;
minMul = minMul < minCur ? minMul : minCur;
}
return maxMul;
}

两个解法的时间复杂度都是O(1)，解法一的空间复杂度是O(n)，解法二的空间复杂度也是O(1)。其实解法一的空间复杂度也可以降为O(1)，不用数组，用四个变量即可。

第二题：原题

在柱状图中找最大的矩形：给一组非负的整数来表示一个柱状图，设计一个算法找到最大面积的能适合到柱状图内的矩形。比如，对于这组数，1 2 3 4 1 ，有两种可能的方案，一种是适合到 2 3 4 内的矩形，面积是 2*3；另一种是适合到 3 4 内的矩形，面积是 3*2。

用数学点的描述就是，找所给数组的一个连续子数组，使该子数组的最小值与数组长度乘积最大。

解法是在待字闺中微信公众账号里面看到的，一个线性算法是用堆栈来保存当前可能的矩形（高度和起始位置）。从左到右扫描，对一个元素，如果

a）大于栈顶元素， push；

b）小于的话，pop所有的大于它的元素，计算面积，更新最大值。这时如果堆栈空，push一个新的元素，高度等于当前元素，起始位置为0；否则，push当前元素高度和栈顶的起始位置。

比如1 3 2 2 3这个数组，操作如下：

i	C[i]	栈操作	最大值	栈内容
0	1	push (1,0)		(1,0)
1	3	push (3,1)		(3,1)(1,0)
2	2	pop (3,1),push (2,1)	(2-1)*3=3	(2,1)(1,0)
3	2	什么都不做		(2,1)(1,0)
4	3	push(3,4)		(3,4)(2,1)(1,0)
5	0	pop(3,4)	(5-4)*3=3	(2,1)(1,0)
5	0	pop(2,1)	(5-1)*2=8	(1,0)
5	0	pop(1,0)	(5-0)*1=5

代码如下：

int MaxArea(int *num, int len)
{
if(num == NULL || len < 1)
return 0;

stack<int> numStack;
stack<int> indStack;
numStack.push(num[0]);
indStack.push(0);
int lastPopInd = 0;
int maxMul = num[0];
for(int i = 1; i < len; ++i)
{
if(num[i] > numStack.top())
{
numStack.push(num[i]);
indStack.push(i);
}
else if(num[i] < numStack.top())
{
while(!numStack.empty() && num[i] < numStack.top())
{
int numPop = numStack.top();
lastPopInd = indStack.top();
maxMul = (numPop * (i - lastPopInd)) > maxMul ? (numPop * (i - lastPopInd)) : maxMul;
numStack.pop();
indStack.pop();
}
if(numStack.empty() || num[i] > numStack.top())
{
numStack.push(num[i]);
indStack.push(lastPopInd);
}
}
}
while(!numStack.empty())
{
int numPop = numStack.top();
lastPopInd = indStack.top();
maxMul = (numPop * (len - lastPopInd)) > maxMul ? (numPop * (len - lastPopInd)) : maxMul;
numStack.pop();
indStack.pop();
}
return maxMul;
}

扩展问题是：

在一个位图中找面积最大的白色矩形：给你一个NxN的黑白位图，找一个面积最大的全白色的矩形。注意了，是一个矩形，不是任意一个白色相连的区域。

可以生成一个新的矩阵C，C[i][j]表示第j列，从第i个元素开始，包括第i个元素，向上数，直到遇到0时，1的个数。然后再每一行按一维做就可以了。