康托展开

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康托展开

　　康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。

　　这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以

X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!

关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？

a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。

a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。

a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。

a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）

所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

A B C | 0

A C B | 1

B A C | 2

B C A | 3

C A B | 4

C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？

　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有

3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20

1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20

0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20

0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20

等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：



知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。

这样我们就能写出一个函数 Permutation3()，它可以返回 s 的第 m 个排列。

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<cstdlib>  
using namespace std;  
class cantor{  
public:  
    int n;//字符串的长度  
    string s;  
    int pos;//字符串在全排列中的字典位置，从0开始  
    vector<int>num;//所有的字符  
    cantor(string s):s(s){n=s.size();}  
    cantor(int n,int pos):n(n),pos(pos){  
        int i;  
        for(i=0;i<n;i++)  
            num.push_back(i);  
    }  
    int fac(int);  
    void encode();  
    void decode();  
      
};  
int cantor::fac(int num){  
    if(num==0) return 1;  
        else return num*fac(num-1);  
}  
void cantor::encode(){  
    int i,j,count;  
    vector<int>vec(n);  
    for(i=0;i<n;i++){  
        count=0;  
        for(j=i;j<n;j++)  
            if(s[i]>s[j]) count++;     
        vec[n-i-1]=count;  
                }  
    pos=0;  
    for(i=0;i<s.size();i++)  
        pos+=vec[i]*fac(i);   
}  
void cantor::decode(){  
    int i;  
    div_t divresult;  
    for(i=n-1;i>=0;i--){  
        divresult=div(pos,fac(i));求余数与除数  
        s.push_back(num[divresult.quot]+'0');  
        num.erase(num.begin()+divresult.quot);  
        pos=divresult.rem;  
            }  
}  
int main(){  
    cantor test(4,2);  
    test.decode();  
    cout<<test.s<<endl;  
}