【动态规划】不能移动的石子合并

不能移动的石子合并

 

做如下两个模型的石子合并，如下模型石子都不能移动出列，且合并都仅发生在相邻两堆石子中：

 

（1）第一个模型：一行排列且相邻合并

有n堆石子形成一行(a1,a2,…,an，ai为第i堆石子个数)，相邻两堆可合并，合并的分值为新堆的石子数。求合并为一堆的最低得分和最高得分。

 

（2）第二个模型：一圈排列且相邻合并

有n堆石子形成首位相连的一个环形(a1,a2,…,an，ai为第i堆石子个数，an和a1相邻)，相邻两堆可合并，合并的分值为新堆的石子数。求合并为一堆的最低得分和最高得分。

 

例如4堆石子，每堆石子个数：9 4 4 5

若排成一行，最小分值：(4+4)+(8+5)+(9+13)=43，最大分值：(9+4)+(13+4)+(17+5)=52。

若排成圈状，最小分值：(4+4)+(8+5)+(9+13)=43，最大分值：(9+5)+(14+4)+(18+4)=54。

 

此题以第一模型的最低得分为例，很多同学想着采用总是从最小的相邻两堆下手的思想，认为最后获得的也就是最低得分。但这个贪心策略是不对的。

如下反例：

 

石子：9 4 6 1 5

 

贪心策略：

9 4 6 6      计分6

9 10 6       计分10

9 16         计分16

25           计分25

得分共计：6+10+16+25=57

 

但9 4 6 1 5 若如下方式合并：

13 6 1 5     计分13

13 6 6       计分6

13 12        计分12

25           计分25

13+6+12+25=56

 

或

9 4 6 6      计分6

9 4 12       计分12

13 12        计分13

25           计分25

6+12+13+25=56

 

后两种方式合并出的56都比贪心策略的57来的更低，因为总选择最小的相邻两堆去合并，并不能保证后续每步都可以最小，也许这轮最小导致后续几轮分值较大。

 

输入格式

两行。第一行n，第二行a1 a2 … an，每个ai(1<=i<=n)表示第i堆石子的个数，n<=100

 

输出格式

两行。第一行是第一个模型的最低得分和最高得分，中间空格相连，第二行是第二个模型的最低得分和最高得分，中间空格相连。

 

输入样例

4

9 4 4 5

 

输出样例

43 52

43 54

 

 

分析：

开始看到两种模型好烦啊T_T，反正我是写了四个函数分别算的。这道题就有点经典了，如果没整理好思路，代码有得调的了。先摆公式：

本次积分 = 左边石头+右边石头+左边积分+右边积分。

思路也很简单，要求出[m, n]这个区间(m可以大于n)中累加的最优值，那么肯定是从区间中找到一点k(m <= k <n)，使得[m, k]和[k+1, n]这两个子问题分别最优，然后将所有k值枚举，取最优值作为本次最优，算是子问题的分解吧。分解到什么时候是个头呢？很简单，到只有两个数的时候，k只有一种取值，那么肯定已经是最优的了，这里采用自底向上方式，填表分析。

下面贴上第二种模型的分析过程：

模型二比较复杂，拿上面的 9 4 4 5 作为分析数据，取最大值

当 | n - m | == 1 的时候，已经是最优问题，直接两个数相加。

 

 

	n
m	0	1	2	3	4
1	0
2	13	0
3		8	0
4			9	0

 

 

当 |n-m| == 2 的时候：

 

[1,3]

9 4 4

1:

9/4 4

9 + 8 + 0 + 8 = 25

2：

9 4/4

13 + 4 + 13 + 0 = 30

[2,4]

4 4 5

1：

4/4 5

4 + 9 + 0 + 9 = 22

2:

4 4/5

8 + 5 + 8 + 0 = 21

 

[3,1]

4 5 9

1:

4/5 9

4 + 14 + 0 + 14 = 32

2:

4 5/9

9 + 9 + 9 + 0 = 27  

 

[4,2]

5 9 4

1:

5/9 4

5 + 13 + 0 + 13 = 31

2:

5 9/4

14 + 4 + 14 + 0 = 32

 

 

	n
m	0	1	2	3	4
1	0		32	14
2	13	0		32
3	30	8	0
4		22	9	0

 

 

 

当 |n - m| == 3 的时候

[1,4]

9 4 4 5

1:

9/4 4 5

9 + 13 + 0 + 22 = 44

2:

9 4/4 5

13 + 9 + 13 + 9 = 44

3:

9 4 4/5

17 + 5 + 30 + 0 = 52

 

[2,1]

4 4 5 9

1:

4/4 5 9

4 + 18 + 0 + 32 = 54

2：

4 4/5 9

8 + 14 + 8 + 14 = 44

3:

4 4 5/9

13 + 9 + 22 + 0 = 44

 

[3,2]

4 5 9 4

1:

4/5 9 4

4 + 18 + 0 + 32 = 54

2:

4 5/9 4

9 + 13 + 9 + 13 = 44

4 5 9/4

18 + 4 + 32 + 0 = 54

 

[4,1]

1 9 4 4

1：

1/9 4 4 

1 + 17 + 0 + 30 = 48

2:

1 9/4 4

10 + 8 + 10 + 8 = 36

3:

1 9 4/4

14 + 4 + 27 + 0 = 45

 

	n
m	0	1	2	3	4
1	0	54	32	14
2	13	0	54	32
3	30	8	0	54
4	52	22	9	0

 

接着在上面表格中，找到[1,4]、[2,1]、[3,2]、[4,3]中的一个最大值，返回即可