在O(n^2)内寻找矩阵A中 A(c,d) - A(a,b) 的最大值， c > a 且 d > b.

参考：

http://www.careercup.com/question?id=5818131813498880

题目：

Given an n x n matrix A(i,j) of integers, find maximum value A(c,d) - A(a,b) over all choices of indexes
such that both c > a and d > b. Required complexity: O(n^2)

解题思路：

１.把二维的矩阵想象成一维的数组，用Ｏ(n)的实现找到一维数组中A(m)-A(n) 的最大值，要求m>n

=》解法：

$min_value = $A[0];
for($i=1; $i<$N; $i++) {
    // A[i] - A[j] is maximal, when A[j] is minimal value from {A[0], A[1],.., A[i-1]}
    $res = max($res, $A[i] - $min_value);
    $min_value = min($min_value, $A[$i]);
}
echo $res;

同理，二维的矩阵也是类似的:

２.由于有限定条件c>a &&ｄ＞ｂ，所以想到从对角线去遍历矩阵

3.在一维的条件下保证m>n是容易的，现在的问题就是如何在二维条件下也能保证 c>a &&ｄ＞ｂ

构造一个“备忘录”数组maxtrix_min[i][j],代表以（0,0）为左上角坐标，（i,j）为右下角坐标为的矩阵中的最小值。

这里用到了“记录法”，由于两层for循环后，以(i-1,j)为右下角的矩阵的最小值已经被记录了，以(i,j-1)为右下角的矩阵的最小值也已经被记录了，最后比较得出的结果就是以（0,0）为左上角坐标，（i,j）为右下角坐标的i*j矩阵的最小值min_value。然后，通过动态规划：

$max_diff = max ($max_diff, $m[$i+1][$j+1] - $min_value );

即可在O(N^2)的时间复杂度内算出结果。

php实现：

<?php
$m = array 
(
	array(9,1,3,6),
	array(5,2,2,3),
	array(7,17,16,11),
	array(6,1,8,15)
);
$n = count($m);
$max_diff = $m[1][1] - $m[0][0];
$matrix_min = array();
for($i = 0; $i < $n-1; $i ++) {
	for($j = 0; $j < $n-1; $j ++) {
		if ($i == 0 && $j == 0) {
			$min_value = $m [0] [0];
		} 
		elseif ($i == 0 && $j > 0) {
			$min_value = min ($m[$i][$j], $m[0][$i]);
		} 
		elseif ($j == 0 && $i > 0) {
			$min_value = min ($m[$i][$j], $matrix_min[0][$j]);
		} else {
			$min_value = min ($m[$i][$j], $matrix_min[$i-1][$j], $matrix_min[$i][$j-1]);
		}
		$matrix_min[$i][$j] = $min_value;
		$max_diff = max ($max_diff, $m[$i+1][$j+1] - $min_value );
		
		echo "i:$i j:$j min_value:$min_value:".$matrix_min[$i][$j]." max_diff:$max_diff" . "<br>";
	}
}

打印输出：



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