字符串 之 KMP算法

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）。

在介绍KMP算法之前，先介绍一下BF算法。

一.BF算法

BF算法是普通的模式匹配算法，BF算法的思想就是将目标串S的第一个字符与模式串P的第一个字符进行匹配，若相等，则继续比较S的第二个字符和P的第二个字符；若不相等，则比较S的第二个字符和P的第一个字符，依次比较下去，直到得出最后的匹配结果。

举例说明：

S: ababcababa

P: ababa

　 BF算法匹配的步骤如下

i=0 i=1 i=2 i=3
i=4

第一趟:ababcababa 第二趟:ababcababa
第三趟:ababcababa 第四趟:ababcababa 第五趟:ababcababa


ababa ababa
ababa ababa ababa

j=0 j=1 j=2 j=3 j=4(i和j回溯)

i=1 i=2 i=3 i=4 i=3

第六趟:ababcababa 第七趟:ababcababa
第八趟:ababcababa 第九趟:ababcababa 第十趟:ababcababa


ababa
ababa ababa ababa
ababa

j=0 j=0 j=1 j=2(i和j回溯) j=0

i=4 i=5 i=6 i=7 i=8

第十一趟:ababcababa 第十二趟:ababcababa
第十三趟:ababcababa 第十四趟:ababcababa 第十五趟:ababcababa


ababa
ababa ababa ababa
ababa

j=0 j=0 j=1 j=2 j=3

i=9

第十六趟:ababcababa

ababa

j=4(匹配成功)

代码实现:

int BFMatch(char *s,char *p)
{
    int i,j;
    i=0;
    while(i<strlen(s))
    {
        j=0;
        while(s[i]==p[j]&&j<strlen(p))
        {
            i++;
            j++;
        }
        if(j==strlen(p))
            return i-strlen(p);
        i=i-j+1;                //指针i回溯
    }
    return -1;
}

其实在上面的匹配过程中，有很多比较是多余的。在第五趟匹配失败的时候，在第六趟，i可以保持不变，j值为2。因为在前面匹配的过程中，对于串S，已知s0s1s2s3=p0p1p2p3，又因为p0!=p1!，所以第六趟的匹配是多余的。又由于p0==p2,p1==p3，所以第七趟和第八趟的匹配也是多余的。在KMP算法中就省略了这些多余的匹配。
二.KMP算法
KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的，就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题，只需确定下次匹配j的位置即可，使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。
　 在KMP算法中，为了确定在匹配不成功时，下次匹配时j的位置，引入了next[]数组，next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。
　 对于next[]数组的定义如下：
　1) next[j] = -1 j = 0
　2) next[j] = max(k): 0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
　3) next[j] = 0 其他
　如：
　P a b a b a
　j 0 1 2 3 4
next -1 0 0 1 2
　即next[j]=k>0时，表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
　因此KMP算法的思想就是：在匹配过程称，若发生不匹配的情况，如果next[j]>=0，则目标串的指针i不变，将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配；若next[j]=-1，则将i右移1位，并将j置0，继续进行比较。

代码实现如下：

int KMPMatch(char *s,char *p)
{
    int next[100];
    int i,j;
    i=0;
    j=0;
    getNext(p,next);
    while(i<strlen(s))
    {
        if(j==-1||s[i]==p[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else
        {
            j=next[j];       //消除了指针i的回溯
        }
        if(j==strlen(p))
            return i-strlen(p);
    }
    return -1;
}

因此KMP算法的关键在于求算next[]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度， 而求算next[]数组的值有两种思路，第一种思路是用递推的思想去求算，还有一种就是直接去求解。

1.按照递推的思想：

根据定义next[0]=-1，假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]

1)若P[j]==P[k]，则有P[0..k]==P[j-k,j]，很显然，next[j+1]=next[j]+1=k+1;

2)若P[j]!=P[k]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next[k]。

因此可以这样去实现：

void getNext(char *p,int *next)
{
    int j,k;
    next[0]=-1;
    j=0;
    k=-1;
    while(j<strlen(p)-1)
    {
        if(k==-1||p[j]==p[k])    //匹配的情况下,p[j]==p[k]
        {
            j++;
            k++;
            next[j]=k;
        }
        else                   //p[j]!=p[k]
            k=next[k];
    }
}

2.直接求解方法

void getNext(char *p,int *next)
{
    int i,j,temp;
    for(i=0;i<strlen(p);i++)
    {
        if(i==0)
        {
            next[i]=-1;     //next[0]=-1
        }
        else if(i==1)
        {
            next[i]=0;      //next[1]=0
        }
        else
        {
            temp=i-1;
            for(j=temp;j>0;j--)
            {
                if(equals(p,i,j))
                {
                    next[i]=j;   //找到最大的k值
                    break;
                }
            }
            if(j==0)
                next[i]=0;
        }
    }
}

bool equals(char *p,int i,int j)     //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等
{
    int k=0;
    int s=i-j;
    for(;k<=j-1&&s<=i-1;k++,s++)
    {
        if(p[k]!=p[s])
            return false;
    }
    return true;
}