阿里巴巴2014年校园招聘试题解答

        说来有些惭愧，这个题目是夸张的说法。目前我只做了一道题，觉得挺有意思，自己思考了一下，就想写到博客上。我对这类题目很感兴趣，如果以后能多碰到这类的题目，我会一一记录下来。

        阿里巴巴2014校招北京笔试题第29题：

        在黑板上写下50个数字，1到50,。在接下来的49轮操作中，每次做如下动作：选取黑板上的两个数字a和b，擦去，在黑板上写下|a-b|。请问最后一次动作之后，写下的数可能是什么？为什么？

        一道数学类的分析题，分析起来，却挺有意思。下面是我的分析，如果有不对的地方，万望指正！

        首先我们要做的，是猜测出，这些到底是哪一类的数。1到50，有点多，好吧，我们降低一点难度。不妨设n = 50，就是1到n的连续的数字。问题则成为，n = 50的时候，最后剩下的应该是什么数字。如果n = 1，那么最后只能是1，如果n = 2，也很明显，最后结果是1,。都是奇数。且慢，我们看一下n = 3的情况，结果是0，2；那么n = 4呢？结果是0，2，4。都是偶数。继续，n = 5和6的时候，结果，是奇数。好了，数量开始多了，不过，我们已经能够看出规律了。

        规律：n = 2k-1或2k，如果k是奇数，那么最后剩余的数是奇数，而且所有不大于n的奇数，都能够出现。如果k是偶数则最后余下的是偶数，而且所有不大于n的偶数都能够出现。规律是否正确，下面需要我们的证明。要证明上述的规律，我们需要找到上述规律的充分条件和必要条件。

        这里不讨论分类的情况，我们的n = 50。则，k = 25，是个奇数，那么我们只讨论k是奇数的时候的情况。要证明“k是奇数，最后剩余的数是奇数，且所有小于n的奇数都有可能。”证明这个，需要证明两条（注意前提：n = 2k，k是奇数）：

        1、最后的数一定是个奇数。

        2、任意一个小于n的奇数，我们能够给出一个擦除数的流程，使得最后剩下的数等于这个奇数。

        证明1：从所有书中选出两个数，我们有三种选法，两个奇数、两个偶数、一个奇数和一个偶数。两个奇数的情况，最后结果是奇数的个数减去2，偶数的个数加上1。两个偶数，最终的结果是偶数的个数减去1。一个奇数，一个偶数，最终结果也是偶数的个数减去1。我将两个奇数的情况成为A类操作，其它情况成为B类操作，这样，还需要证明：A类操作和B类操作的顺序的不同对于最终的奇偶数的个数不产生影响。这个结论证明比较简单。于是，开始k个奇数，k个偶数，我们可以先通过(k-1)/2次A类操作，将奇数的数量降低到1，在通过B类操作，去掉所有的偶数，于是，只剩下一个奇数了。从而，证明最终剩下的一定是一个奇数。

        证明2：只要找到中擦除过程就可以。这里画个图吧。



        按照图片方式排列所有数字，如果我要最后留下数字2i - 1，则将2i和1单独拿出来，剩下的按照箭头所示进行结合，每次去掉箭头连接的数字，这样剩下的是1，由于k是个奇数，这样，我们得到的1的个数是有偶数个，每两个1相结合，这样，共得到(k-1)/2个0，可知，0与任何数结合，比如|x - 0|，结果还是x。因此，这些0都可以去掉。最后剩下1和2i这两个数，|2i-1|的最终结果是2i-1。第2个问题证明完毕。
        一道题说了这么多话，有点繁琐，不过数学是严密的，每一个小结论，都需要严格的逻辑说明。