链表相交问题
2013-10-06 15:07
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这个是目前发现的比较齐全的链表相交问题的解答,和代码,有些地方做简单的补充和修改。代码没有任何改动,重要的是问题的解决方法
1、如何判断一个单链表有环
2、如何判断一个环的入口点在哪里
3、如何知道环的长度
4、如何知道两个单链表(无环)是否相交
5、如果两个单链表(无环)相交,如何知道它们相交的第一个节点是什么?
6、如何知道两个单链表(有环)是否相交
7、如果两个单链表(有环)相交,如何知道它们相交的第一个节点是什么?
以下进行分析,并在最后附源代码及测试:
1、采用快慢步长法。令两个指针p和q分别指向头结点,p每次前进一步,q每次前进两步,如果p和q能重合,则有环。可以这么理解,这种做法相当于p静止不动,q每次前进一步,所有肯定有追上p的时候。
我们注意到,指针p和q分别以速度为1和2前进。如果以其它速度前进是否可以呢?
假设p和q分别以速度为v1和v2前进。如果有环,设指针p和q第一次进入环时,他们相对于环中第一个节点的偏移地址分别为a和b(可以把偏移地址理解为节点个数)
这样,可以看出,链表有环的充要条件就是某一次循环时,指针p和q的值相等,就是它们相对环中首节点的偏移量相等。我们设环中的结点个数为n,程序循环了m次。
由此可以有下面等式成立:(mod(n)即对n取余)
(a+m*v1)mod(n) = (b+m*v2) mod(n)
设等式左边mod(n)的最大整数为k1,等式右边mod(n)的最大整数为k2,则
(a+m*v1)-k1*n = (b+m*v2)-k2*n
整理以上等式:
m= |((k2-k1)*n+a-b)/( v2-v1)| ①
如果是等式①成立,就要使循环次数m为一整数。显然如果v2-v1为1,则等式成立。
这样p和q分别以速度为v1和v2且|v2-v1|为1时,按以上算法就可找出链表中是否有环。当然|v2-v1|不为1时,也可能可以得出符合条件的m。
时间复杂度分析:假设甩尾(在环外)长度为 len1(结点个数),环内长度为 len2,链表总长度为n,则n=len1+len2 。当p步长为1,q步长为2时,p指针到达环入口需要len1时间,p到达入口后,q处于哪里不确定,但是肯定在环内,此时p和q开始追赶,q最长需要len2时间就能追上p(p和q都指向环入口),最短需要1步就能追上p(p指向环入口,q指向环入口的前一个节点)。事实上,每经过一步,q和p的距离就拉近一步,因此,经过q和p的距离步就可以追上p。因此总时间复杂度为O(n),n为链表的总长度。
2、分别从链表头和碰撞点,同步地一步一步前进扫描,直到碰撞,此碰撞点即是环的入口。
证明如下:
链表形状类似数字 6 。
假设甩尾(在环外)长度为 a(结点个数),环内长度为 b 。
则总长度(也是总结点数)为 a+b 。
从头开始,0 base 编号。
将第 i 步访问的结点用 S(i) 表示。i = 0, 1 ...
当 i<a 时,S(i)=i ;
当 i≥a 时,S(i)=a+(i-a)%b 。
分析追赶过程。
两个指针分别前进,假定经过 x 步后,碰撞。则有:S(x)=S(2x)
由环的周期性有:2x=tb+x 。得到 x=tb 。
另,碰撞时,必须在环内,不可能在甩尾段,有 x>=a 。
连接点为从起点走 a 步,即 S(a)。
即S(x+a) = S(tb+a) =S(a),
S(a) = S(tb+a) = S(x+a)。
得到结论:从碰撞点 x 前进 a 步即为连接点。
根据假设易知 S(a-1) 在甩尾段,S(a) 在环上,而 S(x+a) 必然在环上。所以可以发生碰撞。
而,同为前进 a 步,同为连接点,所以必然发生碰撞。
综上,从 x 点和从起点同步前进,第一个碰撞点就是连接点。
时间复杂度分析:假设甩尾(在环外)长度为 len1(结点个数),环内长度为 len2 。则时间复杂度为“环是否存在的时间复杂度”+O(len1)
3、从碰撞点开始,两个指针p和q,q以一步步长前进,q以两步步长前进,到下次碰撞所经过的操作次数即是环的长度。这很好理解,比如两个运动员A和B从起点开始跑步,A的速度是B的两倍,当A跑玩一圈的时候,B刚好跑完两圈,A和B又同时在起点上。此时A跑的长度即相当于环的长度。
假设甩尾(在环外)长度为 len1(结点个数),环内长度为 len2 ,则时间复杂度为“环是否存在的时间复杂度”+O(len2)。
4、法一:将链表A的尾节点的next指针指向链表B的头结点,从而构造了一个新链表。问题转化为求这个新链表是否有环的问题。
时间复杂度为环是否存在的时间复杂度,即O(length(A)+length(B)),使用了两个额外指针
法二:两个链表相交,则从相交的节点起,其后的所有的节点都是都是两个链表共有的。因此,如果它们相交,则最后一个节点一定是共有的。因此,判断两链表相交的方法是:遍历第一个链表,记住最后一个节点。然后遍历第二个链表,到最后一个节点时和第一个链表的最后一个节点做比较,如果相同,则相交。
时间复杂度:O(length(A)+length(B)),但是只用了一个额外指针存储最后一个节点
5、将链表A的尾节点的next指针指向链表B的头结点,从而构造了一个环。问题转化为求这个环的入口问题。
(也可以用方法7)
时间复杂度:求环入口的时间复杂度
6、分别判断两个链表A、B是否有环(注,两个有环链表相交是指这个环属于两个链表共有)
如果仅有一个有环,则A、B不可能相交
如果两个都有环,则求出A的环入口,判断其是否在B链表上,如果在,则说明A、B相交。
时间复杂度:“环入口问题的时间复杂度”+O(length(B))
7、分别计算出两个链表A、B的长度LA和LB(环的长度和环到入口点长度之和就是链表长度),参照问题3。
如果LA>LB,则链表A指针先走LA-LB,链表B指针再开始走,则两个指针相遇的位置就是相交的第一个节点。
如果LB>LA,则链表B指针先走LB-LA,链表A指针再开始走,则两个指针相遇的位置就是相交的第一个节点。
时间复杂度:O(max(LA,LB))
源码,并没有封装成类,存在某些重复运算:
islistJunction.
1、如何判断一个单链表有环
2、如何判断一个环的入口点在哪里
3、如何知道环的长度
4、如何知道两个单链表(无环)是否相交
5、如果两个单链表(无环)相交,如何知道它们相交的第一个节点是什么?
6、如何知道两个单链表(有环)是否相交
7、如果两个单链表(有环)相交,如何知道它们相交的第一个节点是什么?
以下进行分析,并在最后附源代码及测试:
1、采用快慢步长法。令两个指针p和q分别指向头结点,p每次前进一步,q每次前进两步,如果p和q能重合,则有环。可以这么理解,这种做法相当于p静止不动,q每次前进一步,所有肯定有追上p的时候。
我们注意到,指针p和q分别以速度为1和2前进。如果以其它速度前进是否可以呢?
假设p和q分别以速度为v1和v2前进。如果有环,设指针p和q第一次进入环时,他们相对于环中第一个节点的偏移地址分别为a和b(可以把偏移地址理解为节点个数)
这样,可以看出,链表有环的充要条件就是某一次循环时,指针p和q的值相等,就是它们相对环中首节点的偏移量相等。我们设环中的结点个数为n,程序循环了m次。
由此可以有下面等式成立:(mod(n)即对n取余)
(a+m*v1)mod(n) = (b+m*v2) mod(n)
设等式左边mod(n)的最大整数为k1,等式右边mod(n)的最大整数为k2,则
(a+m*v1)-k1*n = (b+m*v2)-k2*n
整理以上等式:
m= |((k2-k1)*n+a-b)/( v2-v1)| ①
如果是等式①成立,就要使循环次数m为一整数。显然如果v2-v1为1,则等式成立。
这样p和q分别以速度为v1和v2且|v2-v1|为1时,按以上算法就可找出链表中是否有环。当然|v2-v1|不为1时,也可能可以得出符合条件的m。
时间复杂度分析:假设甩尾(在环外)长度为 len1(结点个数),环内长度为 len2,链表总长度为n,则n=len1+len2 。当p步长为1,q步长为2时,p指针到达环入口需要len1时间,p到达入口后,q处于哪里不确定,但是肯定在环内,此时p和q开始追赶,q最长需要len2时间就能追上p(p和q都指向环入口),最短需要1步就能追上p(p指向环入口,q指向环入口的前一个节点)。事实上,每经过一步,q和p的距离就拉近一步,因此,经过q和p的距离步就可以追上p。因此总时间复杂度为O(n),n为链表的总长度。
2、分别从链表头和碰撞点,同步地一步一步前进扫描,直到碰撞,此碰撞点即是环的入口。
证明如下:
链表形状类似数字 6 。
假设甩尾(在环外)长度为 a(结点个数),环内长度为 b 。
则总长度(也是总结点数)为 a+b 。
从头开始,0 base 编号。
将第 i 步访问的结点用 S(i) 表示。i = 0, 1 ...
当 i<a 时,S(i)=i ;
当 i≥a 时,S(i)=a+(i-a)%b 。
分析追赶过程。
两个指针分别前进,假定经过 x 步后,碰撞。则有:S(x)=S(2x)
由环的周期性有:2x=tb+x 。得到 x=tb 。
另,碰撞时,必须在环内,不可能在甩尾段,有 x>=a 。
连接点为从起点走 a 步,即 S(a)。
即S(x+a) = S(tb+a) =S(a),
S(a) = S(tb+a) = S(x+a)。
得到结论:从碰撞点 x 前进 a 步即为连接点。
根据假设易知 S(a-1) 在甩尾段,S(a) 在环上,而 S(x+a) 必然在环上。所以可以发生碰撞。
而,同为前进 a 步,同为连接点,所以必然发生碰撞。
综上,从 x 点和从起点同步前进,第一个碰撞点就是连接点。
时间复杂度分析:假设甩尾(在环外)长度为 len1(结点个数),环内长度为 len2 。则时间复杂度为“环是否存在的时间复杂度”+O(len1)
3、从碰撞点开始,两个指针p和q,q以一步步长前进,q以两步步长前进,到下次碰撞所经过的操作次数即是环的长度。这很好理解,比如两个运动员A和B从起点开始跑步,A的速度是B的两倍,当A跑玩一圈的时候,B刚好跑完两圈,A和B又同时在起点上。此时A跑的长度即相当于环的长度。
假设甩尾(在环外)长度为 len1(结点个数),环内长度为 len2 ,则时间复杂度为“环是否存在的时间复杂度”+O(len2)。
4、法一:将链表A的尾节点的next指针指向链表B的头结点,从而构造了一个新链表。问题转化为求这个新链表是否有环的问题。
时间复杂度为环是否存在的时间复杂度,即O(length(A)+length(B)),使用了两个额外指针
法二:两个链表相交,则从相交的节点起,其后的所有的节点都是都是两个链表共有的。因此,如果它们相交,则最后一个节点一定是共有的。因此,判断两链表相交的方法是:遍历第一个链表,记住最后一个节点。然后遍历第二个链表,到最后一个节点时和第一个链表的最后一个节点做比较,如果相同,则相交。
时间复杂度:O(length(A)+length(B)),但是只用了一个额外指针存储最后一个节点
5、将链表A的尾节点的next指针指向链表B的头结点,从而构造了一个环。问题转化为求这个环的入口问题。
(也可以用方法7)
时间复杂度:求环入口的时间复杂度
6、分别判断两个链表A、B是否有环(注,两个有环链表相交是指这个环属于两个链表共有)
如果仅有一个有环,则A、B不可能相交
如果两个都有环,则求出A的环入口,判断其是否在B链表上,如果在,则说明A、B相交。
时间复杂度:“环入口问题的时间复杂度”+O(length(B))
7、分别计算出两个链表A、B的长度LA和LB(环的长度和环到入口点长度之和就是链表长度),参照问题3。
如果LA>LB,则链表A指针先走LA-LB,链表B指针再开始走,则两个指针相遇的位置就是相交的第一个节点。
如果LB>LA,则链表B指针先走LB-LA,链表A指针再开始走,则两个指针相遇的位置就是相交的第一个节点。
时间复杂度:O(max(LA,LB))
源码,并没有封装成类,存在某些重复运算:
islistJunction.
/****************************************************************************************************** Description : 检查链表是否有环 Prototype : template<typename T> bool checkCircle(T* head) Input Param : head,链表的头结点指针 Output Param : 无 Return Value : bool变量,TRUE为有环,FALSE为没有环 ********************************************************************************************************/ template<typename T> bool checkCircle(T* head) { if (NULL == head) return false; T* low = head; T* fast = head; while (low->next != NULL && (fast->next != NULL) && (fast->next)->next != NULL) { low = low->next; fast = (fast->next)->next; if (low == fast) { return true; } } return false; }/****************************************************************************************************** Description : 判断两个链表是否相交 Prototype : template<typename T> bool isListJunction(T* head1,T* head2) Input Param : head1,第一个链表的头结点;head2,第二个链表的头结点 Output Param : 无 Return Value : bool变量,true为有交集,false为没有交集 ********************************************************************************************************/ template<typename T> bool isListJunction(T* head1,T* head2) { if (NULL == head1 || NULL == head2) { return false; } // 如果头结点相同,代表相同的链表,肯定是相交 if (head1 == head2) { return true; } // 检测是否有环 bool b1 = checkCircle(head1); bool b2 = checkCircle(head2); // 若相交,则两个链表要么都无环,要么都有环 if (b1 != b2) { return false; } // 若都无环,b1==b2==0,尾节点必然相同,是Y字形 if (!b1) { while (head1 != NULL) { head1 = head1->next; } while (head2 != NULL) { head2 = head2->next; } if (head1 == head2) { return true; } } // 若有环,则找出链表1的环入口,看是否在链表2上 if (b1) { T* port = findLoopPort(head1); if (port != NULL) { T* temp = head2; int length2 = getLoopLength(head2) + getTailLength(head2); while (port != temp && (length2--) >= 0) temp = temp->next; if (port == temp) return true; else return false; } } return false; }/****************************************************************************************************** Description : 判断两个链表是否相交 Prototype : template<typename T> bool isListJunction(T* head1,T* head2) Input Param : head1,第一个链表的头结点;head2,第二个链表的头结点 Output Param : 无 Return Value : bool变量,true为有交集,false为没有交集 ********************************************************************************************************/ template<typename T> bool isListJunction(T* head1,T* head2,T *&junctionNode) { if (NULL == head1 || NULL == head2) { return false; } // 如果头结点相同,代表相同的链表,肯定是相交 if (head1 == head2) { junctionNode = head1; return true; } // 检测是否有环 bool b1 = checkCircle(head1); bool b2 = checkCircle(head2); // 若相交,则两个链表要么都无环,要么都有环 if (b1 != b2) { return false; } // 若都无环,b1==b2==0,尾节点必然相同,是Y字形 if (!b1) { T* node1 = head1; T* node2 = head2; while (node1 != NULL) { node1 = node1->next; } while (node2 != NULL) { node2 = node2->next; } if (node1 == node2) { // 相交,把第一个链表的尾节点指向第二个链表 node1->next = head2; junctionNode = findLoopPort(head1); return true; } } // 若有环,则找出链表1的环入口,看是否在链表2上 if (b1) { int length1 = getLoopLength(head1) + getTailLength(head1); int length2 = getLoopLength(head2) + getTailLength(head2); int len = length2; T* port = findLoopPort(head1); if (port != NULL) { T* temp = head2; while (port != temp && (len--) >= 0) temp = temp->next; if (port == temp) { // 若长度相等,同步寻找相同的节点 if (length1 == length2) { while (head1 != head2) { head1 = head1->next; head2 = head2->next; } junctionNode = head1; } // 若长度不等,长的先剪掉长度差,然后再同步递增 else if (length1 > length2) { int step = length1 - length2; while (step--) { head1 = head1->next; } while (head1 != head2) { head1 = head1->next; head2 = head2->next; } junctionNode = head1; } else { int step = length2 - length1; while (step--) { head2 = head2->next; } while (head1 != head2) { head1 = head1->next; head2 = head2->next; } junctionNode = head1; } return true; } else { return false; } } } return false; }/****************************************************************************************************** Description : 查找环的入口 Prototype : template<typename T> T* findLoopPort(T* head) Input Param : head,链表的头结点 Output Param : 无 Return Value : 环入口点的指针 ********************************************************************************************************/ template<typename T> T* findLoopPort(T* head) { // 判断是否有环,五环返回NULL checkCircle(head); if (!checkCircle(head)) return NULL; T* low = head; T* fast = head; // low按照步长1增加,fast按照步长2增加,找到碰撞点 while (1) { low = low->next; fast = fast->next->next; if (low == fast) break; } // 分别从头结点和碰撞节点开始按照步长1增加,遍历链表,第一个节点相同的点是环入口点 low = head; while (low != fast) { low = low->next; fast = fast->next; } return low; }/****************************************************************************************************** Description : 计算环的长度 Prototype : template<typename T> int getLoopLength(T* head) Input Param : head,链表的头结点 Output Param : 无 Return Value : int,表示长度 ********************************************************************************************************/ template<typename T> int getLoopLength(T* head) { if (!checkCircle(head)) return 0; T* low = head; T* fast = head; int length = 0; // low按照步长1增加,fast按照步长2增加,找到碰撞点,然后接着循环直到下一次碰撞, // 计算两次碰撞之间的循环次数即为长度 while (1) { low = low->next; fast = fast->next->next; if (low == fast) break; } while(1) { low = low->next; fast = fast->next->next; length++; if (low == fast) break; } return length; }/****************************************************************************************************** Description : 计算有环链表的尾长度 Prototype : template<typename T> int getTailLength(T* head) Input Param : head,链表的头结点 Output Param : 无 Return Value : int,表示长度 ********************************************************************************************************/ template<typename T> int getTailLength(T* head) { T* port = findLoopPort(head); int length = 0; T* temp = head; while (temp != port) { length++; temp = temp->next; } return length; }
main.cpp
#include "isListJunction.h" #include <string>template <typename T> struct listNode { T val; listNode *pre; listNode *next; listNode() { pre = NULL; next = NULL; } listNode(T value) { val = value; pre = NULL; next = NULL; } };int main(int argc,char** argv) { string first = "my is"; string second = "your"; string three = "is"; string four = "king"; string five = "name"; string first2 = "speak"; string second2 = "what"; list<string> firstlist; firstlist.push_back(first); firstlist.push_back(second); firstlist.push_back(three); firstlist.push_back(four); firstlist.push_back(five); list<string> secondlist; secondlist.push_back(first2); secondlist.push_back(second2); secondlist.push_back(four); secondlist.push_back(five); // 链表1,无环 listNode<string> *head1 = new listNode<string>(first); listNode<string> *pnode2 = new listNode<string>(second); head1->next = pnode2; listNode<string> *pnode3 = new listNode<string>(three); pnode2->next = pnode3; listNode<string> *pnode4 = new listNode<string>(four); pnode3->next = pnode4; listNode<string> *pnode5 = new listNode<string>(five); pnode4->next = pnode5; // 链表2,无环 listNode<string> *head2 = new listNode<string>(first2); listNode<string> *pnode22 = new listNode<string>(second2); head2->next = pnode22; pnode22->next = pnode4; pnode4->next = pnode5; // 链表1、2相交 bool bJunction = isListJunction(head1,head2); std::cout<< bJunction<<std::endl; std::cout<< checkCircle(head1)<<endl; std::cout<< checkCircle(head2)<<endl; string first3 = "1"; string second3 = "2"; string three3 = "3"; string four3 = "4"; string five3 = "5"; string six3 = "6"; string seven3 = "7"; // 链表3,有环 listNode<string> *head3 = new listNode<string>(first3); listNode<string> *pnode32 = new listNode<string>(second3); head3->next = pnode32; listNode<string> *pnode33 = new listNode<string>(three3); pnode32->next = pnode33; listNode<string> *pnode34 = new listNode<string>(four3); pnode33->next = pnode34; listNode<string> *pnode35 = new listNode<string>(five3); pnode34->next = pnode35; listNode<string> *pnode36 = new listNode<string>(six3); pnode35->next = pnode36; pnode36->next = pnode33; cout<<findLoopPort(head3)->val<<endl; cout<<getLoopLength(head3)<<endl; // 链表4,有环 listNode<string> *head4 = new listNode<string>(seven3); head4->next = pnode32; cout<<isListJunction(head3,head4)<<endl; cout<< "the length of list3 : "<<getLoopLength(head3) + getTailLength(head3)<<endl; cout<< "the length of list4 : "<<getLoopLength(head4) + getTailLength(head3)<<endl; listNode<string> *junctionNode = new listNode<string>; cout<<isListJunction(head3,head4,junctionNode)<<endl; cout<<"list3 与 list4的交点: "<<junctionNode->val<<endl; return 0; }源地址:http://blog.163.com/bbluesnow@126/blog/static/27784545201251051156817/
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