hdu3691Nubulsa Expo(Stoer-Wagner求无向图全局最小割)

题目请戳这里

题目大意：给一张图，n个点，m条无向边，每条边有权值，表示该路人流量上界。给定起点s，问如何选终点t，能是s-t的所有路径上最小人流量总和最大，给出这个最大流量。

题目分析：根据最大流最小割定理，此题就是求一个最小割。给定的起点是无用信息，因为起点一定在某个割集中，那么终点在另一个割集随便找一点即可。所以此题求的是一个全局最小割。最大流可以解决。但需要O(n)枚举终点。再加上最大流的复杂度，至少要O(n^4)，对于此题来说复杂度偏高，所以要找其他算法。

Stoer-Wagner算法是求无向图全局最小割的一个有效算法，最坏时间复杂度O(n^3)，主要思想是先找任意2点的最小割，然后记录下这个最小割，再合并这2个点。这样经过n-1次寻找任意2点最小割，每次更新全局最小割，最后整张图缩成一个点，算法结束，所保存下来的最小割就是全局最小割。

Stoer-Wagner的正确性：

设s和t是图G的2个顶点，图G的全局最小割要么是s-t的最小割，此时s和t在G的全局最小割的2个不同的子集中，或者是G中将s和t合并得的的新图G'的全局最小割，此时s和t在G的全局最小割的同一个子集中。所以只需要不断求出当前图中任意2个点的最小割，然后合并这2个点。不断缩小图的规模求得最小割。

关于更详细的Stoer-Wagner算法：

1：这是英文版论文，英语太烂，没勇气看，不过里面有个插图蛮好的，可以很直观的体会这个算法的工作过程。

2：这篇给了一点证明

3：看看吧

详情请见代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 305;
const int M = 50005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int g

,v
,dis
;
bool vis
;
int m,n,s;
void build()
{
int a,b,c;
memset(g,0,sizeof(g));
while(m --)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
g[a][b] += c;
g[b][a] += c;
}
}
void solve()
{
int i,j;
int ans = inf;
int maxx,maxi;
int s,t;
for(i = 1;i <= n;i ++)
v[i] = i;//初始化点集
while(n > 1)
{
int cur,pre;
cur = 1;
memset(dis,0,sizeof(dis));
memset(vis,false,sizeof(vis));
for(i = 2;i <= n;i ++)
{
dis[v[i]] = g[v[1]][v[i]];
}
vis[v[1]] = true;
for(i = 1;i < n;i ++)
{
maxx = -1;
maxi = 0;
for(j = 1;j <= n;j ++)
{
if(vis[v[j]] == false && maxx < dis[v[j]])
{
maxx = dis[v[j]];//找离当前集合最远的点
maxi = j;
}
}
vis[v[maxi]] = true;
if(i == n - 2)
s = maxi;
if(i == n - 1)
t = maxi;
for(j = 1;j <= n;j ++)
{
if(vis[v[j]] == false)
dis[v[j]] += g[v[maxi]][v[j]];
}
}
ans = min(ans,dis[v[t]]);
for(i = 1;i <= n;i ++)
{
g[v[s]][v[i]] += g[v[t]][v[i]];
g[v[i]][v[s]] = g[v[s]][v[i]];
}
v[maxi] = v
;
n --;
}
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&s),n)
{
build();
solve();
}
return 0;
}