poj 3358 Period of an Infinite Binary Expansion 欧拉定理

题意：将一个小于1的小数表示成二进制形式。输出二进制形式下，小数部分第几开始循环，循环节长度是多少？

题解：先约分，这个就不用解释了吧。接着，转换成二进制的时候，每次乘2，然后留下整数部分，以此循环。

因而当分母是2的倍数的时候，必定不在循环节内，因为之后同乘以2的话会将分母约去一部分，也就不可能构成循环了。

同理，当分母不是2的倍数的时候必定构成循环：令a/b，a和b没有公约数且b为不是2的倍数，k次转换后剩余值为(a*2^k)%b/b,又由欧拉定理可知，必定2^euler_phi(b)%b=1，所以必定能成循环。而循环节必定是t=euler_phi(b)的因子，因为a^t%mod=a^0,t是一个循环，如果存在自循环的话必定是t的因子。

1.其中euler_phi()是求欧拉函数，即对于一个数n，不大于n且与n互质的正整数个数。

2.欧拉定理：a^euler_phi(mod)%mod=1,（a和mod互质）

如此，只要计算下约分后，分母中有多少个2的因子。以及剩余分母欧拉函数值的因子枚举判断下就OK了。

注意：

1.a=0的时候，这个就不能约分了，特判下。

2.除去2这个质因子后，剩余的分母b=1的时候，欧拉函数为0，因子不好枚举，也特判下。

耗时：32MS

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int64 LL;
LL c[1001];
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL pow_mod(LL a,LL b,LL mod)
{
    LL s=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)s=(s*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b=b>>1;
    }
    return s;
}
LL euler_phi(LL n)//欧拉函数
{
    LL i,m,ans=n;
    m=(LL)sqrt(n+0.5);
    for(i=2;i<=m;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            while(n%i==0)n=n/i;
            ans=ans/i*(i-1);
        }
    }
    if(n>1)
    ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
int main()
{
    LL a,b,tt=0;
    while(scanf("%I64d/%I64d",&a,&b)!=EOF)
    {
        LL i,j,k,d,p,q,t,ans,m,n;
        printf("Case #%I64d: ",++tt);
        if(a==0){printf("1,1\n");continue;}
        d=gcd(a,b);
        a=a/d;
        b=b/d;
        p=1;
        while(b%2==0){b=b/2;p++;}
        if(b==1){printf("%I64d,%I64d\n",p,1);continue;}
        q=euler_phi(b);
        t=0;
        m=(LL)sqrt(q+0.5);
        for(i=1;i<=m;i++)
        if(q%i==0){c[t++]=i;c[t++]=q/i;}
        sort(c,c+t);
        for(i=0;i<t;i++)
            if(pow_mod(2,c[i],b)==1){ans=c[i];break;}
        printf("%I64d,%I64d\n",p,ans);
    }
    return 0;
}