<离散数学>学习笔记1--逻辑和证明

今天开始离散数学的自学旅程。

主题：逻辑和证明

逻辑规则给出数学语句的准确含义。逻辑对计算机科学有着重要作用。为了理解数学，我么必须理解正确的数学论证是由什么组成的。只要证明一个数学语句是真的，我们就称之为定理。我们要学会如何理解和构造正确的数学论证。

1 命题逻辑

命题是一个或真或假的陈述语句，即一个陈述事实的句子，但不能既真又假。

涉及命题的逻辑领域称为命题演算或者命题逻辑。

1.1非命题，与命题和或命题的真值表

非命题，与命题和或命题的真值表如下









1.2 条件命题

令 p 和 q 为命题，条件语句 p → q 是命题“若 p ，则 q ”。当p为真，而q为假的时候，提哦啊兼语句 p→ q为假，否则为真。p 称为假设（或者前项，前提），q称为结论（或者推论）。

真值表如下：



表示 p → q 的术语有很多：



为了便于理解条件语句，举例如下，帮助理解：

命题：教授承诺，期末考试考了一百分，期末成绩能拿到A。

此时 p 为“期末考试考了一百分”，而 q 为 “期末成绩能拿到A”。表述条件就是 if p ，then q。考生期末考了一百分，但是没有得到A，也就是 p 为真，而 q 为假，那么整个命题就是假，也即是教授失信了，被骗了。其他情况都是真的。假如考生没有拿到一百分，那么期末成绩不一定就不是A，因为可能由其他因素决定。

注意，表述 p → q 是可以用 p only if q，这个句子是和 if p ，then q 等价的。很多人都是表述称 q only if p。p only if q 说的是当q不为真时，q也不能为真。拿上面的例子来说明一下，期末成绩能拿到A不为真时，那么考生就是期末没有考到一百分，q也不是为真，如果q为真，那么整个命题就是假的，也即是教授说谎。但是考生期末考试没有拿到一百分，那么期末成绩会不会拿到A呢？ 答案是不知道，因为此时q的真值并没有从命题体现出来，也即是说不管考生拿到的是不是A，也就是说不管q是不是真，教授都没有失信，那么整个命题那就是真的。

1.3 逆 反 和倒置



（懒得打字，就只好贴图了，莫见怪）

两个命题总是具有相同的真值时，我们称之为等价。