[CSAPP笔记]Binary , Unsigned , Signed 之间的相互装换

LaTex+MarkDown+Pandoc组合套件写博客的处女作，试试效果。各自的分工为：Latex下编辑公式，在Sublime Text 2下使用Markdown排版，最后用Pandoc导出。

摘要

本文主要讲解 Binary , Unsigned , Signed 三种数据中任意两者之间的转换。下面是文中的一些约定写法。

转换名称

B2Uw(x) : 将位数为w的二进制数 binary 转换为无符号数Unsigned

B2Tw(x) : 将位数为w的二进制数 binary 转换为补码 Two's complement

二进制数的表示 (x) : 用一个向量表示，x = ( x1 , x2 , ... , xw)

1. U2Bw(x)

直接用辗转相除法即可。

2. S2Bw(x)

正数直接装换，然后左边添加

0

； 负数先将其绝对值装换成二进制数，再对低

w-1

位取反，最高位添加

1

，用公式表示即为： 下面以三位的三进制数来说明有符数的补码表示

3 = 011

2 = 010

1 = 001

0 = 000

-1 = 111

-2 = 110

-3 = 101

-4 = 100

3. B2Uw(x)

\begin{equation} B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq \sum_{i=0}^{w-1} x_i 2^i \label{B2U} \end{equation}

4. B2Tw(x)

\begin{equation}B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq -x_{w-1} 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i 2^i \label{B2T} \end{equation}

5. T2Uw(x)

函数 T2Uw(x) 定义为 T2Uw(x) = T2Bw(B2Uw(x)) 。这个函数输入的是一个 -2(w-1) ~ 2(w-1)-1 之间的数，而输出的无符数也即为该有符数的补码表示。
对于位模式 下的有符二进制数 $\overrightarrow{x}$ ，对比式($\ref{B2U}$) 和式($\ref{B2T}$) , 计算两者之差，我们就可以得到：$ B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) - B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1} \left( 2^{w-1} - \left( -2^{w-1} \right) \right) = x_{w-1} 2^w $ 。这样就得到了：$B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1} 2^w + B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right)$。若令 $\overrightarrow{x} = T2B_w \left( x \right) $ ，则其反函数为 $ x = B2T_w \left( \overrightarrow{x} \right) $。 由前面三式以及T → B → U变换的传递性，可得：

\begin{equation} B2U_w\left( T2B_w \left( x \right) \right) = T2U_w \left( x \right) = x_{w-1} 2^w + x \label{T2U} \end{equation}
这个关系对于理解“有符数变换得到的无符数也即补码”很有用。

$$ T2U_w \left( x \right)=\left\{
\begin{aligned}
& x+2^w, & x<0,x_{w-1}=1 \\
& x, & x \geq 0,x_{w-1}=0
\end{aligned}
\right.$$

下图说明了 T2U 的转换行为：对于非负数（x ≥ 0）, T2U 保留原值 ：



图1.　从补码到无符号数的转换。函数

将负数转换为大的正数

6. U2Tw(x)

函数 U2Tw(x) 定义为 U2Tw(x) = B2Tw(U2Bw(x)) 。这个函数输入的是一个 0 ~ 2(w-1)-1 之间的数，输出则为一个 -2w ~ 2(w-1) 之间的数。
上一节我们已经得到，对于负数（x < 0）,T2U 被装换为一个大于2w − 1的正数。
反过来，我们再来推导无符号数 u 和与之对应的有符号数 U2Tw(u)之间的关系。 利用上一节的结论， $B2T_w\left( \overrightarrow{u} \right) = B2U_w\left( \overrightarrow{u} \right) - u_{w-1} 2^w$ 。若令 $\overrightarrow{u} = U2B_w \left( u \right)$，则其反函数为 $u = B2U_w \left( \overrightarrow{x} \right)$ 。由前面三式以及 T → B → U 变换的传递性，可得：

\begin{equation}B2T_w\left( U2B_w \left( u \right) \right) = U2T_w \left( u \right) = u - u_{w-1} 2^w \label{U2T} \end{equation}

在 u 原始的无符号表示法中，最高位uw − 1决定了 u 是否大于或等于 2w − 1, 无符数 u 到有符数的装换分段表示为：

$$ U2T_w \left( u \right)=\left\{
\begin{aligned}
& u, & u<2^{w-1},x_{w-1}=0 \\
& u-2^w, & x \leq 0,x_{w-1}=1
\end{aligned}
\right.$$

下图说明了 U2T 转换行为：对于小的数（u < 2w − 1）, U2T 保留原值 ； 对于大的数（u ≥ 2w − 1）,U2T 被装换为一个负数：



图2.从无符号数到补码的转换。函数U2T 把大于

的数字转换为负值

练习

1.如下函数，在32bit系统中，求问foo(2^31-3)的值是：

int foo(int x) {
return x&-x;
}

A.0 B.1 C.2 D.4

解答：

(1).运算符号的优先级，减号 '-' 高于异或 '^' 。所以 231-3=2(31-3)=2^28=30

(2).32位机器中int整型的位数的为 w=32 ，位运算 x 取反,其实为 0xFFFFFFFF-x ,而不是用 232 减去。

(3).本题中，x=30=0x1E ,依据 T2Uw 可得 -x=0xFFFFE2,所以_x&-x=2_,本题选B

(4)有么有更简单方法。



用 15, 16 ,48 三个数验证结论

x=15=0x0F , -x=-15=232-0x0F=0xFFFFFFF1 , 所以 x&-x=0xF1 & 0x0F = 1 ;

x=16=0x10 , -x=-16=232-0x10=0xFFFFFF0 , 所以 x&-x=0xF0 & 0x10 = 16

x=48=0x30 , -x=-48=232-0x30=0xFFFFFD0 , 所以 x&-x=0xD0 & 0x30 = 16

总结起来就是, x&-x 得到的是数x的最低一位的非0比特数。

reference

CASPP

yahoo关于y = x & (-x)问题的解答