临界切线

两个凸多边形间的临界切线（一般被叫做CS线）是使得两个多边形分居线不同侧的切线。 换句话说， 他们分隔了多边形。
CS线可以应用于motion planning， visibility 和 range fitting。 

下图是关于两个多边形和他们的两条临界切线。

 

 



这里要注意的一点是假设数据是以标准形式给出的， CS线只会在两个顶点处与两个多边形相交。 因此， 一条CS线由多边形间顶点对确定。 

如下的结论描述了这个点对： 

给定两个凸多边形 P， Q， 两个顶点 p(i), q(j) （分别属于 P 和 Q） 确定一条CS线当且仅当：
p(i), q(j) 构成多边形间对踵点对。
p(i-1),p(i+1) 位于线 (p(i), q(j)) 一侧，同时q(j-1),q(j+1) 位于另一次。
利用这个结论， CS线可以很容易地确定。 只有多边形间的对踵点对才需要进行测试。 因此， Toussaint建议使用旋转卡壳。 假设多边形是以标准形式给出并且是顺时针序排列顶点， 考虑如下过程：
计算 P 上 y 坐标值最小的顶点（称为 yminP ） 和 Q 上 y 坐标值最大的顶点（称为 ymaxQ）。
为多边形在 yminP 和 ymaxQ 处构造两条切线 LP 和 LQ 使得他们对应的多边形位于他们的右侧。 此时 LP和 LQ 拥有不同的方向， 并且 yminP 和 ymaxQ 成为了多边形间的一个对踵点对。
令 p(i)= yminP， q(j)= ymaxQ。 (p(i), q(j)) 构成了多边形间的一个对踵点对。 检测是否有 p(i-1),p(i+1) 在线 (p(i), q(j))
的一侧， 并且 q(j-1),q(j+1) 在另一侧。 如果成立， (p(i), q(j)) 确定了一条CS线。
旋转这两条线， 直到其中一条和其对应的多边形的边重合。
一个新的对踵点对确定了。 如果两条线都与边重合， 总共三对对踵点对（原先的顶点和新的顶点的组合）需要考虑。 对于所有的对踵点对， 执行上面的测试。
重复执行步骤4和步骤5， 直到新的点对为(yminP,ymaxQ)。
输出CS线。

这个算法基本通过绕着多边形旋转切线， 顺序查找所有多边形间的对踵点对。 每次一对对踵点确定后， 执行所有必要的测试。 在上述过程执行完后， 所有的临界切线都被找到了。 
算法的运行时间由步骤1和步骤6决定， 他们都花费 O(n) 的时间（所有的检测都花费常数时间。
因为有 O(n) 的对踵点对， 总的花费为 O(n)）。 

关于凸多边形的学习， 最后的操作是凸多边形矢量和。

 

原文地址：http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/cslines.html