通过伴随阵来求逆矩阵

一、计算思路

             
一个方阵 A 如果满足

，则A可逆， 且

                                                 


  
              由上面公式可以知道，我们只需求出 A 的伴随阵及A对应的行列式的值即可求出方阵A的
       逆矩阵。下面将分别实现这两个部分。

二、具体实现

       1、计算矩阵A对应的行列式的值

                     引入一个定理： 行列式的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式

        乘积之和。

                上面定理中提到了代数余子式，其实这个概念很简单。在n阶行列式中位于 (i,  j) 的元素

的

         代数余子式就是将该元素所在的第i行和第j列划掉后，留下来的n-1阶行列式叫做

的余子式，

                 记作

。记

   


             则

叫做元

的代数余子式。

                       根据上面这些我们就可以写出 计算矩阵对应的行列式的值的算法了。                                                                         

private static double getValueOfDeterminant(double[][] data) {
if(data.length == 1) {
return data[0][0];
}

if(data.length == 2) {
return data[0][0] * data[1][1] - data[0][1] * data[1][0];
}

double valueOfDeterminant = 0;
double[] elementsMultiplyItsCofactor = new double[data[0].length];
for(int j=0; j<data[0].length; j++) {
double cofactorValue =
getValueOfDeterminant(getCofactor(data, 0, j));
if(j % 2 == 0) {
elementsMultiplyItsCofactor[j] = data[0][j] * cofactorValue;
} else {
elementsMultiplyItsCofactor[j] = -1 * data[0][j] * cofactorValue;
}
valueOfDeterminant += elementsMultiplyItsCofactor[j];
}

return valueOfDeterminant;
}

                       函数 getValueOfDeterminant 中用到了一个函数 getCofactor ， 这个函数很简单，就是    

         用来获取矩阵中矩阵A中(i, j)元

的余子式的。
             

                         

      2、计算获取矩阵A的伴随阵并求逆矩阵

                 伴随阵的定义: 行列式|A|的各个元素的代数余子式


所构成的如下矩阵

                                                             


                 分别计算矩阵A中每个元素的代数余子式，并除以|A|,即可获得矩阵A的逆矩阵.

                 主要代码如下:                     

public static double[][] getMatrixInversion(double[][] data) {
//the matrix has no inverse matrix
if(data.length != data[0].length) {
return new double[][]{};
}

//Get value of determinant for the matrix
double valueOfDeterminant = getValueOfDeterminant(data);
        if(valueOfDeterminant == 0) {   //The matrix doesn't have inversion matrix
return new double[][]{};
}

//Get inversion of the matrix inputed
double[][] inversion = new double[data.length][data[0].length];
for(int i=0; i<inversion.length; i++) {
for(int j=0; j<inversion[0].length; j++) {
double num = getValueOfDeterminant(getCofactor(data, i, j));
if( (i + j) % 2 == 0 ) {
inversion[j][i] = num / valueOfDeterminant;
} else {
inversion[j][i] = -1 * num / valueOfDeterminant;
}
}
}

return inversion;
}
                             

                通过伴随阵来求逆矩阵效率不太高，接下来将会尝试用LU分解法来求解逆矩阵。

 

        3. 后记      

                     后面的文章里讲到了 LU分解求线性方程组 Ax=b。很明显，只要将这里的 矩阵 b 替换成

         与A同型的单位矩阵E，则该线性方程组的解x就是 矩阵A的逆矩阵了。