POJ 1845(2013.9.15周赛A题数论或者二分)
2013-09-21 10:59
232 查看
题意:给你两个数n,m求出n^m的所有约数之和对9901取模的值(n,m<=50000000)
本题需要运用的数学知识非常多,做完这题,学到的公式一堆。 由于n,m都非常大,所以一般的做法都不适合
需要运用到的数学知识:
1、 一个数n可化成n=p1^a1+p2^a2+p3^a3+….+pn^an; P1,p2,p3,p4均为素数。比如12=3*4=2^2*3。
那么n的约数之和=(1+p1+p1^2+p1^3+…+p1^a1)*(1+p2+p2^2+p2^3+…p2^a2)* ……
根据等比求和,上式化成(p1^(a1+1)-1)(p2^(a2+1)-1)...(pn^(an+1)-1)/ ((p1-1)(p2-1)...(pn-1))
2、 取模运算
(a+b)%m=(a%m+b%m)%m; (a*b)%m=(a%m*b%m)%m;
3、 由于上面等比求和的公式存在a/b%m,而且b,m不一定互素,所以不能用除法求模。
所以这里要用到公式(1+p1+p1^2+p1^3+…+p1^a1)*(1+p2+p2^2+p2^3+…p2^a2)* ……来求约数之和。 这里要运用到另一个公式来使运算加快。
递归二分求等比数列(1+p1+p1^2+p1^3+p1^4+…..+p1^n)
(1)若n为奇数,一共有偶数项,则: 1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1)) = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1)) (2)若n为偶数,一共有奇数项,则: 1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2) = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);
(这些都是参考百度上的,不然公式不会的话,也不知道如何下手,所以在递归求法那参考了别人的代码)
本题需要运用的数学知识非常多,做完这题,学到的公式一堆。 由于n,m都非常大,所以一般的做法都不适合
需要运用到的数学知识:
1、 一个数n可化成n=p1^a1+p2^a2+p3^a3+….+pn^an; P1,p2,p3,p4均为素数。比如12=3*4=2^2*3。
那么n的约数之和=(1+p1+p1^2+p1^3+…+p1^a1)*(1+p2+p2^2+p2^3+…p2^a2)* ……
根据等比求和,上式化成(p1^(a1+1)-1)(p2^(a2+1)-1)...(pn^(an+1)-1)/ ((p1-1)(p2-1)...(pn-1))
2、 取模运算
(a+b)%m=(a%m+b%m)%m; (a*b)%m=(a%m*b%m)%m;
3、 由于上面等比求和的公式存在a/b%m,而且b,m不一定互素,所以不能用除法求模。
所以这里要用到公式(1+p1+p1^2+p1^3+…+p1^a1)*(1+p2+p2^2+p2^3+…p2^a2)* ……来求约数之和。 这里要运用到另一个公式来使运算加快。
递归二分求等比数列(1+p1+p1^2+p1^3+p1^4+…..+p1^n)
(1)若n为奇数,一共有偶数项,则: 1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1)) = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1)) (2)若n为偶数,一共有奇数项,则: 1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2) = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);
(这些都是参考百度上的,不然公式不会的话,也不知道如何下手,所以在递归求法那参考了别人的代码)
#include<iostream> using namespace std; long long abc(long long a,long long b) { if(b==0) return 1%9901; long long x=abc(a,b/2); long long z=x*x%9901; //二分法求a^b mod c; if(b&1) z=z*a%9901; return z; } long long zum(long long a,long long b) //等比数列求和,递归法; { if(b==0) return 1; long long sum=1; if(b&1) return ((abc(a,b/2+1)+1)*zum(a,b/2))%9901; //公式; return ((abc(a,b/2+1)+1)*zum(a,b/2-1)+abc(a,b/2))%9901; } int main() { long long i,j,sum,n,m; cin>>n>>m; sum=1; for(i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0) { j=0; while(n%i==0) { j++; n=n/i; } sum=(sum*(zum(i,j*m)%9901))%9901; //依次求其分解后 } if(n>1) sum=(sum*(zum(n,m)%9901))%9901; if(n==1&&i==2) sum=1; cout<<sum<<endl; return 0 ; }
相关文章推荐
- POJ 1845 Sumdiv(逆元或者二分求解等比数列)
- poj 1845 Sumdiv(数论:欧拉函数+二分求等比数列前n项和+快速幂取模)
- poj 1845 Sumdiv(数论+二分)
- [数论+二分求等比数列]POJ 1845 Sumdiv
- poj 1845 Sumdiv 数论--等比数列和(逆元或者递归)
- POJ 1845 Sumdiv <数论(逆元 / 二分递归)>
- POJ 2728 (最优比率生成树+二分或者迭代)
- POJ 1845 Sumdiv(数论+快速幂)
- poj 数论 1845
- poj1845——Sumdiv(数论+幂的因子和)
- POJ 2452 Sticks Problem (暴力或者rmq+二分)
- POJ 1845Sumdiv(数论)
- POJ 1845-Sumdiv(数论,A^B的所有约数和)
- POJ 1845 筛法+分解质因数+快速幂+二分递归求等比数列和
- POJ 1845(数论 模运算)
- poj1845(二分快速求等比数列模M和)
- poj 1845Sumdiv(唯一分解定理&&约数和公式&&二分求等比数列和&&反复平方法计算p^n幂~~~好多定理啊)
- POJ 1845 二分+素因子分解
- POJ-2182 Lost Cows (二分 + 树状数组 或者平衡树)
- 数论 快速矩阵幂 POJ 3233 Matrix Power Series 二分和