数学专项counting：LA 3295

就是分类统计，分3类。第一种是一条水平的或竖直的边，数目为所有对角线条数的两倍；第二种是有一条水平的边和一条竖直的边，数目为所有对角线条数的(2*n+2*m-4)倍；第三类是3条边均不是水平或竖直的，先从n+1条水平边中任取3条，即C(n+1，3)，再在m+1条竖直边取3条边的排列，即P(m+1，3)，利用乘法原则，总数为C(n+1，3)* P(m+1，3)，但此处多算了3点共线的情况，只要在计算对角线的时候，将相应的对角线条数时乘上其长宽的gcd-1即可（即该对角线除去端点后经过的格点数），最后将其减去即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1010;
int g[maxn][maxn];
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void init()
{
for(int i=1;i<=1000;i++)
for(int j=i;j<=1000;j++)
g[i][j]=g[j][i]=gcd(i,j);
}
int main()
{
init();
int n,m;
int kase=1;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
if(!n && !m) break;
LL dig=0,tmp=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
dig+=(n-i+1)*(m-j+1);
tmp+=(n-i+1)*(m-j+1)*(g[i][j]-1);
}
dig*=2;tmp*=2;
LL ans=dig*(2*n+2*m-4)/2+dig*2-tmp;
ans+=(LL)(n+1)*n*(n-1)*(m+1)*m*(m-1)/6;
printf("Case %d: %lld\n",kase++,ans);
}
return 0;
}