部分响应系统与预编码的分析

通信系统基带发送的码元如果时间间隔太小,容易造成码间串扰，给正确判决带来负面影响。对于时间宽度为Ts的时间域sinc波形而言，要想没有码间串扰，两个sinc函数之间至少间隔Ts，即在当前码元的采样时刻，其前后码元刚好为0.如果相邻码元的间隔再靠近，则无可避免地存在码间干扰，前后码元的波形会叠加在当前码元上造成判决失误。

然而，通信系统的带宽是有限的，总是希望更多地利用带宽，在一定的信道带宽即正频范围为【0-R-nyquist=(pi/Ts)/(2*pi)】下，这个正频带宽被称为nyquist带宽。由于波特率只能被码间串扰限制在Ts,因此传输速率比上带宽并不高。这个速率1/Ts被称为nyquist速率。此时用波特率比上带宽为2,，是理论上的极限值，实际中如果传输sinc函数则定时困难，因此频带利用率不高。

如何增加波特率又不会造成码间串扰呢？
思想：如果能控制码间串扰的规律，然后在接收端恢复出真实的编码就行了。也就是说，如果有串扰就让它又把，我能把信号从串扰中恢复出来就行。

分析下可以发现，想提高信道利用率，要么在一定的波特率下减少发送的带宽，要么在一定的信号带宽下增加波特率。

而在sinc函数的带宽pi/Ts下，波特率的极限是1/Ts，但是这种波形如果按照1/Ts的极限传输对定时要求太高，只是在理论上没有码间串扰，是否有更加鲁棒的波形呢？

根据傅里叶变换的性质可知，单个函数表达式（这点很重要，即只对单个波形做伸缩变换）的波形的时间域长度与频率域长度是此消彼长的，即海森堡不确定关系。因此展宽时间域波形可以减小带宽，但是波形一展宽码间串扰就不能控制。然而，时间长的波形频域不一定短，例如两个周期为2Ts的波形如果适当地交错叠加在一起，则频带可以做到和原来的波形相同。这是仍按Ts的波特率来传信号，必然会有串扰，但是串扰会变得有规律。而且叠加后拖尾变小，因此即使定时不准，码间串扰也变小。

解决方案：令sinc函数左右各移位Ts/2后叠加在一起，这时，合成信号的主瓣宽度为3*Ts,如果按照Ts的波特率来传，则当前码元会受到前一个码元的影响，接收波形为两个码元的叠加。
即
方法1：相关编码：令C[k]=a[k]+a[k+1],因此知道了某一个时刻的C[k]和第一个时刻的a[0].就可以顺推出所有的a[k]，然而，这种方法并不鲁棒，从表达式可以看出前后耦合严重，一个码判断错，后面全错，能否去掉这种耦合呢？而且能否去掉第一个时刻a[0]的限制呢？

解决思想：根据负负为正和错错为对的哲学，令其耦合两次不就得了？
方法2（改进：相关编码前先预编码）：
令C[k]=b[k]+b[k-1]，再设法使b[k]中包含a[k]的信息，并使结果与b[k]的具体值无关，因此
而b[k]充当开始的解决方案中c[k]的角色，即完成与a[k]的耦合，且为了不受a[0]的影响，令b[k]=a[k]+b[k-1]而非b[k]=a[k]+a[k-1].
此时，C[k]=b[k]+b[k-1]=(a[k]+b[k-1])+b[k-1]mod2=a[k],即结果与b[k]无关，又能解出a[k]。

补充：这里b[k]为中间码，b[k]在逻辑上取0，或1，实际传输中取-1和+1，因此相同得+-2，相反得0.因此+-2译为0,0译为1(抑或操作)

推广

刚才的讨论只是把sinc函数左右移位了Ts/2交错相叠加的，一般情况下可以把sinc函数移位任意后相叠加。由于每个component的时间域主瓣长度没有变化，因此叠加波形的正频带宽仍为pi/Ts。
一般的相关编码是C[k]=R1*a[k]+R2*a[k-1]+……+Rn*a[k-n+1], 然后令b[i] 包含a[i]，即 a[i]=R1*b[k]+R2*b[k-1]+……+Rn*b[k-n+1]
则a[k]=[ck] modL