神奇的Gamma函数

神奇的Gamma函数 (上)
rickjin
关键词：特殊函数,

欧拉

Gamma 函数诞生记

学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数



































通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质

























于是很容易证明，








函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质























学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：

1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
2.为何定义


函数的时候，不使得这个函数的定义满足














而是






















最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍 Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列





















可以用通项公式




自然的表达，即便


为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线







通过所有的整数点











，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列




































,我们可以计算










,
是否可以计算







呢？我们把最初的一些












的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。





但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了


函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

事实上首先解决



的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，

如果





都是正整数，如果






，有











































































于是用这个无穷乘积的方式可以把



的定义延拓到实数集合。例如，取










,



足够大，基于上式就可以近似计算出







。

欧拉也偶然的发现




可以用如下的一个无穷乘积表达

















































































用极限形式，这个式子整理后可以写为





















































































左边可以整理为









































































































































































































































































所以 (*)、(**)式都成立。

欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当











的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到























































































































然而右边正好和著名的 Wallis 公式关联。Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线

































下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于

的如下结果，

































































于是，欧拉利用 Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果

























大数学家欧拉
欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。 拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。

欧拉看到










中居然有

,
对数学家而言，有


的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测




一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把




表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分






























，受
Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分









































此处n 为正整数，


为正实数。利用分部积分方法，容易得到











































重复使用上述迭代公式，最终可以得到





























































于是欧拉得到如下一个重要的式子





































































接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取










并且令













,

然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：

































欧拉成功的把



表达为了积分形式！如果我们做一个变换










,就可以得到我们常见的Gamma
函数形式



























于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到 Gamma 函数的一般形式





































































Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何 Gamma 函数被定义为





















,
这看起来挺别扭的。如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的








替换为


































这不就可以使得













了嘛。欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了













，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了
Gamma 函数的定义，使得





















。
而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分

















































这个函数现在称为Beta 函数。如果Gamma 函数的定义选取满足





















,
那么有











































非常漂亮的对称形式。可是如果选取














的定义，令









































则有















































这个形式显然不如











优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。

要了解更多的 Gamma 函数的历史，推荐阅读

Philip J. Davis, Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function
Jacques Dutka, The Early History of the Factorial Function
Detlef Gronnau, Why is the gamma function so as it is?