完全解析斐波那契数列

方法1：使用递归解，时间复杂度是n的指数级别
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
//f(n)={0,1,1,2,3...} n>=0
int Fibonacci(int n)
{
if(n<=0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
void main()
{
int f=Fibonacci(30);
cout<<f<<endl;
system("pause");
}
但是这样的方法存在明显的不足，该方法的时间复杂度是n的指数级别，随着n的增大，运算时间不可想象，比如说f(50)就要很久。时间复杂度之所以这么大，是因此计算过程中存在着重复计算。以f(10)为例，f(10)=f(9)+f(8)，f(9)=f(8)+f(7)。其中的f(8)就是重复计算的。
方法2：开辟一个长度为(n+1)的数组，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)
前面我们计算斐波那契数列是从后往前计算的，就是计算f(n)=f(n-1)+f(n-2)，然后再递归计算f(n-1)，又是从后往前计算，就是因为这样的从后往前计算，所以才会有很多的重复计算。那么我们可以逆转思路，考虑从前往后计算。比如我们要计算f(4)，那么我们就计算f(0)、f(1)、f(2)、f(3)，将这些计算出来的值保存在一个数组arry[n+1]上，这样计算斐波那契数列就相当于是一个填表的过程。时间复杂度大大降低。
int Fibonacci(int n)
{
if(n<=0)
return 0;
else if(n==1)
return 1;
else
{
//动态创建一个长度为(n+1)的数组
int *arry=new int[n+1];
arry[0]=0;
arry[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
arry[i]=arry[i-1]+arry[i-2];
}
int result=arry
;
//因为动态创建的数组不会因为出了作用域，内存就会被释放。
//动态分配的数组将一直存在，直到程序显示释放它为止，因此这里使用delete []
//c++提供delete []表达式释放指针所指向的数组空间。
delete [] arry;
return result;
}
}
注意点：
因为不知道要求的f(n)中的n有多大，因此不能事先开辟一个数组，需要动态创建数组。而动态数组与数组变量不同，动态分配的数组将一直存在，直到程序显式释放它为止。普通的数组变量，只要出了数组的作用于，其内存会自动释放。c++提供delete []表达式释放指针所指向的数组空间。delete [] arry;该语句回收了arry所指向的数组，把相应的内存返回给自由存储区。在关键字delete和指针arry之间的方括号[]是必不可少的：它告诉编译器该指针指向的是自由存储区中的数组，而非单个对象。delete arry只释放了arry指针所指向的内存地址，理论上来说会少释放了内存空间，从而产生内存泄露。
方法3：优化方法2，空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)
在方法2中，我们保存了每一个中间变量，但是仔细观察我们可以发现没有必要保存每一个中间变量，我们只需要保存两个临时变量即可完成斐波那契数列的计算。
int Fibonacci(int n)
{
if(n<=0)
return 0;
else if(n==1)
return 1;
else
{
//当n>=2时，初始化pre=f(0)=0,post=f(1)=1,f(n)=0;
int pre=0;
int post=1;
int fn=0;
//采用循环计算斐波那契数列，通过两个临时变量pre和post保存中间结果，避免重复计算
for(int i=2;i<=n;i++)
{
fn=pre+post;//fn等于其前面两个元素值的和
//然后让pre和post分别直线他们后面的元素。
pre=post;
post=fn;
}
return fn;
}
}