《算法导论》第六章----堆排序练习（证明）（完整版）

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关于堆排序的具体介绍和C代码实现见该链接。

算导关于堆排序的练习主要是一些证明，可以帮助理解堆的特征。部分练习是图示过程，这些练习认真用笔过一次会很有收获。

1.在高度为h的堆中，最多和最少的元素个数是多少？

最多：底层全满；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^h，等比数列求和得2^(h+1) - 1

最少：底层只有一个节点；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^(h-1) + 1，等比数列求和得2^h - 1 + 1 = 2^h

2.证明：含n个元素的堆的高度为floor(lgn)

假设n个元素的堆的高度为h。由上题得2^h <= n <= 2^(h+1) - 1，因此h <= lgn < h+1。

根据floor 和 ceiling 函数的性质

void max_heapify(int A[], int length, int i){
int l, r;
int largest, temp;
while(i <= length){
l = 2 * i;
r = 2 * i + 1;

if(l <= length && A[l] > A[i])
largest = l;
else
largest = i;
if(r <= length && A[r] > A[largest])
largest = r;

if(largest != i){
temp = A[largest];
A[largest] = A[i];
A[i] = temp;
i = largest;
}
else
break;
}
}

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7.证明：对于一个大小为n的堆，max_heapify的最坏运行时间为Ω(lgn)。（提示：对于n个节点的堆，恰当地设置每个节点的值，使得从根节点到叶节点的路径上的每个节点都递归调用max_heapify）。

假设大小为n的堆的高度为h

首先如何使得从根节点到叶节点的路径上的每个节点都递归调用max_heapify？每次调用后的子树都符合子树的根节点小于左右儿子节点，则最初的根节点的值比所有左右儿子的值都小。接着要考虑的就是路径-----如何使得从根节点到叶节点的路径更长（最坏的情况）？“堆数据结构是一种数组对象，可以视为一棵完全二叉树。树的每一层都是填满的，最后一层除外（最后一层从一个节点的左子树开始填）”------《算导》原文。因此每次根节点与其左儿子节点交换，路径会是最长的，则所有左子树的值大于或等于右子树。这样设置，max_heapify会调用h次，所以运行时间为Θ(h)，即Θ(lgn)。根据大Θ符号的定义（链接为维基），详细见算导第三章----函数的增长，因此的得最坏运行时间为Ω(lgn)。

8.证明：在任一含n个元素的堆中，最多有ceiling(n / 2^(h+1))个高度为h的节点。

证明为算导的答案：（答案很详细）









9.对于一个其所有n个元素已按递增序排列的数组A，堆排序的运行时间是多少？若A的元素呈降序呢？

递增序排列和递减序（降序）一样：先建堆，运行时间为O(n)，然后将数组最后一个与第一个交换，数组大小减一，在进行max_heapify（维持最大堆的性质），依次重复操作（O(n) * O(lgn) = O(n*lgn)）

因此运行时间为O(n) * O(lgn) = O(n*lgn)

10.证明：堆排序的最坏情况运行时间为Ω(n*lgn)。

堆排序属于比较排序，比较排序的最坏情况运行时间的下界为Ω(n*lgn)，见算导第八章第一节。

11.证明：在所有元素都不相同时，堆排序的最佳运行时间为Ω(n*lgn)。

无论数组是否已排序，都要调用n - 1次max_heapify函数，可以得最佳运行时间为Ω(n*lgn)。