动态规划--多边形游戏
2013-09-14 10:13
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《算法分析与设计》 王晓东
问题描述:
多边形游戏是一个单人玩的游戏,开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值,每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。
游戏第1步,将一条边删除。
随后n-1步按以下方式操作:
(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2;
(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。
最后,所有边都被删除,游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。
问题:对于给定的多边形,计算最高得分。
如下图:
![](http://images.cnitblog.com/blog/328951/201309/13234224-9e69f31684e5439389f76cf5d3c7f18e.jpg)
![](http://images.cnitblog.com/blog/328951/201309/13234248-6575c99b183642b093324e80f4cd7d51.jpg)
数据输入:
第一行是一个整数N
第二行按照
边 顶点 边 顶点 …. 边 顶点
的顺序以此存放了N个顶点和N条边的标注信息。
问题求解:
当把一条边去除除后,再把它拉直,那么这个问题就可以变成一条链。那么就和以前写的矩阵连乘有几分的相似,其实我们最后要求的是这个链的表达式算式结果的最大值。于是我们就可以想到可以用数组p[i][j]来表示从点i开始,链长为j的算术表达式的最大值,用v[i]存储操作数,op[i]存储操作符。如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生(1≤s≤j-1),则可在op[i+s]处将链分割为2个子链p[i][s]和p[i+s][j-s]。似乎这样再按照以前解决动态规划题目时的思路,就可以解决问题了。 但是,我们再来考虑一下,由于有两种运算符+和x,并且操作数可能存在负数,那么我们也必须考虑两个负数相乘的结果可能比两个正数要打,所以我们同时还需要记录每个链的最大和最小值,然后判断,如果操作符为+的话,只需要两个链的最大值相加即可,如果操作符是x的话,那么必须把各种情况考虑进来,然后再求出最大值。分析如下:
设m1是对子链p[i][s]的任意一种合并方式得到的值,而a和b分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。m2是p[i+s][j-s]的任意一种合并方式得到的值,而c和d分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。依此定义有a≤m1≤b,c≤m2≤d
(1)当op[i+s]='+'时,显然有a+c≤m≤b+d
(2)当op[i+s]='*'时,有min{ac,ad,bc,bd}≤m≤max{ac,ad,bc,bd}
换句话说,主链的最大值和最小值可由子链的最大值和最小值得到。
于是我就用数组chain_value[i][j][2]来存储链的节点, chain_value[i][j][0]表示链的最大值,chain_value[i][j][1]表示链的最小值。
代码实现:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAX_POINT 20 int chain_value[MAX_POINT][MAX_POINT][2]; //chain[i][j][0]表示从v[i]节点开始,边长为j的链的最大值 //chain[i][j][1]表示从v[i]节点开始,边长为j的链的最小值 int n,*v; char *op; int get_max_sum(); void chain_max(int start, int len, int k); void get_max_min(int a, int b, int c, int d, int start, int index, int len); int main() { int i; char ch; scanf("%d",&n); v = (int *)malloc(n*sizeof(int)); op = (char *)malloc(n*sizeof(char)); ch = getchar(); //数据输入 for (i = 0; i < n; i++) { scanf("%c",&op[i]); ch = getchar(); scanf("%d",&v[i]); ch = getchar(); } printf("MAX:%d\n",get_max_sum()); return 0; }//main int get_max_sum() { int i,k,start,max,tmp,len; for (i = 0; i < n; i++) { chain_value[i][0][0] = v[i]; //链长为0,即单个点的值 chain_value[i][0][1] = v[i]; } for (len = 1; len < n; len++) //控制链的长度, { for (start = 0; start < n ; start++) //起点start配合链长,就可以得出除去某条边的效果 { chain_value[start][len][0] = -9999; chain_value[start][len][1] = 9999; for (k = 0; k < len; k++) { chain_max(start,len,k); } } } max = chain_value[0][n-1][0]; //最终的最大值 for (start = 1; start < n; start++) { tmp = chain_value[start][n-1][0]; max = max > tmp ? max : tmp; } return max; } void chain_max( int start, int len, int k) { int index,a,b,c,d; //a<= m1 <= b c<= m2 <=d index = (start+k+1)%n; //表示符号(op)或者符号后面的操作数的下标 a = chain_value[start][k][1]; b = chain_value[start][k][0]; c = chain_value[index][len-k-1][1]; d = chain_value[index][len-k-1][0]; get_max_min(a,b,c,d,start,index,len); } void get_max_min(int a, int b, int c, int d, int start, int index, int len) { int max_max,min_min,max_min,min_max; int max,min; max = chain_value[start][len][0]; min = chain_value[start][len][1]; if ('+' == op[index]) { max = max > (b + d) ? max : (b + d); min = min < (a + c) ? min : (a + c); } else if ('x' == op[index]) { max_max = b * d; min_min = a * c; max_min = b * c; min_max = a * d; max = max > max_max ? max :max_max; max = max > min_min ? max : min_min; max = max > max_min ? max : max_min; max = max > min_max ? max : min_max; min = min < max_max ? min :max_max; min = min < min_min ? min : min_min; min = min < max_min ? min : max_min; min = min < min_max ? min : min_max; } chain_value[start][len][0] = max; chain_value[start][len][1] = min; } //2013/9/14 10:13
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