从数据流中随机选择m个数的算法

百度笔试题目:为分析用户行为，系统常需存储用户的一些query，但因query非常多，故系统不能全存，设系统每天只存m个query，现设计一个算法，对用户请求的query进行随机选择m个，请给一个方案，使得每个query被抽中的概率相等，并分析之，注意：不到最后一刻，并不知用户的总请求量。

方法一：

前m个直接存

对后面来的每个数据a[i](i > m),

随机生成一个(1..i)之前的随机数x,

若x<=m,确定a[i]被选中;再随机生成(1..m)之间的随机数y，用a[i]替换a[y].

证明思路:

1）对于处理前m个数，大家都被保存，概率都相等且为1

2）对于第i(i>m)个数a[i],被选中的概率是m/i;

对于之前保存的m个数，它们每一个上一次存活下来的概率是m/(i - 1)[从i-1个数中选m个数],本次存活的概率是1-(m/i)*(1/m)=1-1/i,所以到当前为止被选中概率是两者相乘=m/i

得证。

方法二:

给每个元素随机生成一个固定区间（如[0,1]）的权重。用一个大小为m的堆来选取权重较大的m个元素。

方法三:

前m个直接存

对后面来的每个数据a[i](i > m),

随机生成一个(1..i)之前的随机数x,

若x<=m,确定a[i]被选中,用a[i]替换a[x];

证明思路:

1）对于处理前m个数，大家都被保存，概率都相等且为1

2）对于第i(i>m)个数a[i],被选中的概率是m/i;

对于之前保存的m个数，它们每一个上一次存活下来的概率是m/(i - 1),本次存活的概率是1-1/i,所以到当前为止被选中概率是两者相乘=m/i

得证。