HDU 4710 Balls Rearrangement(数论)

根据题意：求sum(|i%a-i%b|)=?,i=[1->N];

分析：

首先一个很显然的规律，这是一个循环节的求余问题，L=Lcm(a,b)为一次循环。讨论一个循环：

a=4 b=2 

0 1 2 3  0 1 2 3

0 1 0 1  0 1
0 1

a=3 b=4

0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 1 2 0

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
0 1 2 3

此题关键是怎样发现求|i%a-i%b|，先可以忽略重复的。一个很重要的是如果在某一个位置i，在a中的序列，和在b中的序列是同时递增到j，那么，它的值之和刚好等于第一个两个数之差乘以该连续递增的长度,即:

                       |i%a-i%b|+.....|j%a-j%b|=(j-i+1)*|i%a-i%b|

比如蓝色的数字sum=2*(1-0)=2,类似的还有很多。

那么怎样保持是递增的呢？，不可能每次去找，这样算法反而变复杂了，其实并不难，在i和j都属于min(a,b)的序 列中本身就是递增的。(i+len)在a范围内，(j+len)在b范围内。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
typedef __int64 INT;
using namespace std ;

INT Gcd(INT x,INT y){
if(y==0) return x;
return Gcd(y,x%y);
}

INT Lcm(INT x,INT y){
return (x*y)/Gcd(x,y);
}

inline INT val(INT x,INT y){
if(x<y) return y-x;
return x-y;
}

inline INT min(INT x,INT y){
return x<y?x:y;
}

INT calc(INT a,INT b,INT n)
{
INT x=0,y=0,i=0,L;
INT ret=0;
while(i<n){
L=min(a-x,b-y);
if(i+L>n) L=n-i;
//	printf("%I64d %I64d %I64d\n",L,x,y);
ret+=L*val(x,y);
x=(L+x)%a;
y=(L+y)%b;
i+=L;
}
return ret;
}

int main()
{
INT n,a,b,m,ans;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&a,&b);
m=Lcm(a,b);
if(n<=m) ans=calc(a,b,n);
else ans=calc(a,b,m)*(n/m)+calc(a,b,n%m);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0 ;
}