1133-Buy the Ticket

关于卡特兰数，网上多有博客，讲得也略感详细，可我为人较钻，也写写我的心得和体会，我历时三天，方才写出此题，首先从了解递推，了解了些dp，最后努力理解各公式的推导，最后根据栈出，栈入思考出了这道题。这类问题，没有比百度百科等更详细和专业的了，正因为它专业，倒是让我吃了一番苦头，在这里，我仍然借用百度百科来分析。希望大家耐心的看下去。

说道递推，其实我们高中就学习过，这里我以最简单的递推来让大家知道递推是什么，小明上有十个台阶的楼梯，一次能上一个台阶或二个台阶，问，小明上十阶台阶有几种上法，这是典型的fibonacci数列，fibonacci公式是f（n） = f（n-1） + f（n-2）。假设小明已经上到第十阶台阶了，那么他可能是由第八阶或第九阶来的，同理，第九阶时，有可能是由第八阶和第七阶上来的，逐一递推下去，就能得出结果，而动态规划在于记录状态（关于dp，我了解也不深），这里的每一阶台阶便是一个状态，此状态下记录有几种上楼梯的方法，根据加法原理，上楼总数为各步骤的总和，故有f（n）
= f（n-1） + f（n-2），n为第n阶楼梯，f（n）指有几种算法。

(百度百科)出栈次数：

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?[4-5]







常规分析

首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中第一个出栈的序数是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n

首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。

此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。

看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。

最后，令f（0）=1，f（1）=1。

下面是解买票问题的关键

非常规分析

对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列（买票中没特定顺序哦）、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。
如果你耐不下性子看上述言语，那你就放弃治疗吧，如果你看懂了上述，那么稍微提醒，你便能解决问题了，因为推导方法完全一样！！！

类似问题 买票找零

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

提醒：当m < n时，输出为0.

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int shu[500];
int big_mul(int b,int a[500],int size)
{
int jw = 0,t,i;
for(i = 0; i < size; i++)
{
t = a[i] * 	b + jw;
a[i] = t % 10;
jw = t / 10;
}
while(jw)
{
a[i++] = jw % 10;
jw /= 10;
size ++;
}
return size;
}
int main()
{

int m,n,text = 0;
while(scanf("%d%d",&m,&n)!= EOF && (m || n))
{

int size = 1;
memset(shu,0,sizeof(shu));
if(m < n)
{
printf("Test #%d:\n",++text);
printf("0");
}
else
{
if(!n)
{
shu[0] = 1;
for(int i = 2; i <= m; i++)
size = big_mul(i,shu,size);
}
else
{
shu[0] = 1;
for(int i = 2; i <= m + n;i ++)
{
if(i == (m+1)) size = big_mul(m-n+1,shu,size);
else size = big_mul(i,shu,size);
}
}
printf("Test #%d:\n",++text);
for(int i = size - 1;i >= 0;i--) printf("%d",shu[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}