杭电46道DP牛人总结

原文地址：杭电46道DP牛人总结作者：飞泉鸣玉杭电46道DP牛人总结
HDU
动态规划（46道题目）倾情奉献~
【只提供思路与状态转移方程】
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Robberies http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2955

   背包;第一次做的时候把概率当做背包(放大100000倍化为整数):在此范围内最多能抢多少钱最脑残的是把总的概率以为是抢N家银行的概率之和…把状态转移方程写成了f[j]=max{f[j],f[j-q[i].v]+q[i].money}(f[j]表示在概率j之下能抢的大洋);

   

   正确的方程是:f[j]=max(f[j],f[j-q[i].money]*q[i].v)其中,f[j]表示抢j块大洋的最大的逃脱概率,条件是f[j-q[i].money]可达,也就是之前抢劫过;

   始化为:f[0]=1,其余初始化为-1 (抢0块大洋肯定不被抓嘛)

   
最大报销额 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1864

   又一个背包问题,对于每张发票,要么报销,要么不报销,0-1背包,张数即为背包;

   转移方程:f[j]=max(f[j],f[j-1]+v[i]);

   恶心地方:有这样的输入数据
3 A:100 A:200 A:300

   
最大连续子序列 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1231

   状态方程:sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i]);最后从头到尾扫一边

    也可以写成:

               Max=a[0];

               Current=0;

               for(i=0;i<n;i++)

               {

                   if(Current<0)

                       Current=a[i];

                   else

                       Current+=a[i];

                   if(Current>Max)

                       Max=Current;

               }

   

max sum http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003

   同上,最大连续子序列   

   

Largest Rectangle http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1506

   对于每一块木板,Area=height[i]*(j-k+1)其中,j<=x<=k,height[x]>=height[i];找j,k成为关键,一般方法肯定超时,利用动态规划,如果它左边高度大于等于它本身,那么它左边的左边界一定满足这个性质,再从这个边界的左边迭代下去

   for(i=1;i<=n;i++)

       {           

           while(a[l[i]-1]>=a[i])

               l[i]=l[l[i]-1];

               

       }

   

   for(i=n;i>=1;i--)

       {

           while(a[r[i]+1]>=a[i])

               r[i]=r[r[i]+1];

       }

   

City Game http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1505

   1506的加强版,把2维转换化成以每一行底,组成的最大面积;(注意处理连续与间断的情况);

   

Bone Collector http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

   简单0-1背包,状态方程:f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])

   

Super Jumping http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1087

   最大递增子段和,状态方程:sum[j]=max{sum[i]}+a[j];其中,0<=i<=j,a[i]<a[j]   

   
命运http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2571

   状态方程:sum[i][j]=max{sum[i-1][j],sum[i][k]}+v[i][j];其中1<=k<=j-1,且k是j的因子   

   

Monkey
AndBanana    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1069

   状态方程:f[j]=max{f[i]}+v[j];其中,0<=i<=j,w[i]<w[j],h[i]<h[j]   

   

Big Event in HDU http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

   一维背包,逐个考虑每个物品带来的影响,对于第i个物品:if(f[j-v[i]]==0) f[j]=0;

   其中,j为逆序循环,且j>=v[i]   

   
数塔http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

   自底向上:dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+v[i][j];   

   
免费馅饼http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1176

    简单数塔

   自底向上计算:dp[i][j]=max(dp[i+1][j-1],dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+v[i][j];处理边界

   

I Need A Offer http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1203

   简单0-1背包,题目要求的是至少收到一份Offer的最大概率,我们得到得不到的最小概率即可,状态转移方程:f[j]=min(f[j],f[j-v[i]]*w[i]);其中,w[i]表示得不到的概率,(1-f[j])为花费j元得到Offer的最大概率   

   

FATE http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2159

   二维完全背包,第二层跟第三层的要顺序循环;(0-1背包逆序循环);状态可理解为,在背包属性为
{m(忍耐度), s(杀怪个数)}里最多能得到的经验值,之前的背包牺牲体积,这个背包牺牲忍耐度跟个数

    注意:
最后扫的时候外层循环为忍耐度,内层循环为杀怪个数,因为题目要求出剩余忍耐度最大,没有约束杀怪个数,一旦找到经验加满的即为最优解;

    状态转移方程为:f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v[i]][k-1]+w[i]);w[i]表示杀死第i个怪所得的经验值,v[i]表示消耗的忍耐度

   

How To Type http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2577    

   用两个a,b数组分别记录Caps Lock开与关时打印第i个字母的最少操作步骤;

   而对于第i个字母的大小写还要分开讨论:

    Ch[i]为小写:a[i]=min(a[i-1]+1,b[i-1]+2);不开灯直接字母,开灯则先关灯再按字母,最后保持不开灯;   b[i]=min(a[i-1]+2,b[i-1]+2);不开灯则先按字母再开灯,开灯则Shift+字母(比关灯,按字母再开灯节省步数),最后保持开灯;

    Ch[i]为大写:a[i]=min(a[i-1]+2,b[i-1]+2);
b[i]=min(a[i-1]+2,b[i-1]+1)

   

   最后,b[len-1]++,关灯嘛O(∩_∩)O~    

   

Coins http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2844

    类似于HDU1171Big Event
InHDU,一维DP,可达可不达   

   

Beans http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2845

   横竖分别求一下不连续的最大子段和;

    状态方程:Sum[i]=max(sum[j])+a[i];其中,0<=j<i-1;   

   

Largest Submatrix http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2870

    枚举a,b,c最大完全子矩阵,类似于HDU15051506   

   

Matrix Swapping II http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2830
最大完全子矩阵,以第i行为底,可以构成的最大矩阵,因为该题可以任意移动列,所以只要大于等于height[i]的都可以移动到一起,求出height>=height[i]的个数即可,这里用hash+滚动,先求出height[i]出现的次数,然后逆序扫一遍hash[i]+=hash[i+1];   

   
最少拦截系统http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1257

   两种做法,一是贪心,从后往前贪;二是DP;

   if(v[i]>max{dp[j]})(0<=j<len)

   dp[len++]=v[i];   

   

Common Subsequence http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1159

   经典DP,最长公共子序列

   Len[i][j]={len[i-1][j-1]+1,(a[i]==b[j]);max(len[i-1][j],len[i][j-1])}

   初始化的优化:

   for(i=0;i<a;i++)

           for(j=0;j<b;j++)

               len[i][j]=0;

       for(i=1;i<=a;i++)

           for(j=1;j<=b;j++)

               if(ch1[i-1]==ch2[j-1])

                   len[i][j]=len[i-1][j-1]+1;

               else

                   len[i][j]=max(len[i-1][j],len[i][j-1]);   

   
★

搬寝室http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1421

   状态Dp[i][j]为前i件物品选j对的最优解

   当i=j*2时,只有一种选择即Dp[i-2][j-1]+(w[i]-w[i-1])^2

   当i>j*2时,Dp[i][j]
=min(Dp[i-1][j],Dp[i-2][j-1]+(w[j]-w[j-1])^2)   

   
★
Humble Numbers http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1058

    如果一个数是HumbleNumber,那么它的2倍,3倍,5倍,7倍仍然是Humble Number

   定义F[i]为第i个Humble Number

   F
=min(2*f[i],3*f[j],5*f[k],7*f[L]),
i,j,k,L在被选择后相互移动

   (通过此题理解到数组有序特性)   

   
★
Doing Homework
Again http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1789

   这题为贪心,经典题;

   切题角度,对于每个任务要么在截至日期前完成要么被扣分;所以考虑每个人物的完成情况即可;由于每天只能完成一个任务,所以优先考虑分值较大的任务,看看该任务能不能完成,只要能完成,即使提前完成,占了其他任务的完成日期也没关系,因为当前任务的分值最大嘛,而对于能完成的任务能拖多久就拖多久,以便腾出更多时间完成其他任务;   

   

How Many Ways http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1978

   两种D法,一是对于当前的点,那些点可达;二是当前点可达那些点;

   明显第二种方法高,因为第一种方法有一些没必要的尝试;

   Dp[i][j]+=Dp[ii][jj];
(map[ii][jj]>=两点的曼哈顿距离)

   值得优化的地方,每两点的曼哈顿距离可能不止求一次,所以预处理一下直接读取   

   
珍惜现在

感恩生活http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

   每个物品最多可取n件,多重背包;

   利用二进制思想,把每种物品转化为几件物品,然后就成为了0-1背包   

   

Piggy-Bank http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

   完全背包;常规背包是求最大值,这题求最小值;

   只需要修改一下初始化,f[0]=0,其他赋值为+∞即可;

   状态转移方程:f[i][V]=max{f[i-1][V],f[i-1][V-k*v[i]]+k*w[i]},其中0<=k*v[i]<=V

   
★
Max Sum Plus Plus http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

    1.
对于前n个数,以v
为底取m段:

   当n==m时,Sum[m]
=Sum[m-1][n-1]+v
,第n个数独立成段;
当n>m时,
Sum[m]
=max{Sum[m-1][k],Sum[m][n-1]}+v
;其中,m-1<=k<j,解释为,v
要么加在Sum[m][n-1],段数不变,要么独立成段接在前n-1个数取m-1段所能构成的最大值后面

2.
空间的优化:

       通过状态方程可以看出,取m段时,只与取m-1段有关,所以用滚动数组来节省空间

   

FatMouse’s Speed http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1160

   要求:体重严格递增,速度严格递减,原始顺序不定

   按体重或者速度排序,即顺数固定后转化为最长上升子序列问题

   Dp[i]表示为以第i项为底构成的最长子序列,Dp[i]=max(dp[j])+1,其中0<=j<i,w[i]>w[j]&&s[i]<s[j]用一个index数组构造最优解:记录每一项接在哪一项后面,最后用max找出最大的dp[0…n],dex记录下标,回溯输出即可   

   

Cstructing Roads http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1025

   以p或者r按升序排列以后,问题转化为最长上升子序列

   题目数据量比较大,只能采取二分查找,n*log(n)的算法
用一个数组记录dp[]记录最长的子序列,len表示长度,如果a[i]>dp[len],则接在后面,len++;否则在dp[]中找到最大的j,满足dp[j]<a[i],把a[i]接在dp[j]后面;   

   

FatMouse Chees http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1078

   Dp思想,用记忆化搜索;简单题,处理好边界;   

   

To the Max http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1081

    最大子矩阵

   把多维转化为一维的最大连续子序列;(HDU1003)   

   
龟兔赛跑http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2059

if(val[i] - val[j]<=C){

                   dp[i]
= min(dp[i],dp[j] + (val[i] - val[j])/vt + T);

               }else{

                   dp[i]
= min(dp[i],dp[j] + C/vt +(val[i] - C - val[j])/vc
+T);
★
Employment
Planning http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1158

   状态表示:   Dp[i][j]为前i个月的留j个人的最优解;Num[i]<=j<=Max{Num[i]};

               j>Max{Num[i]}之后无意义,无谓的浪费

记Max_n=Max{Num[i]};

   Dp[i-1]中的每一项都可能影响到Dp[i],即使Num[i-1]<<Num[i]

   所以利用Dp[i-1]中的所有项去求Dp[i];

   对于Num[i]<=k<=Max_n,   当k<j时,
招聘;

                           当k>j时,
解雇
然后求出最小值

   Dp[i][j]=min{Dp[i-1][k…Max_n]+(招聘,解雇,工资);   

   

Dividing http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1059

    一维DpSum为偶数的时候判断Dp[sum/2]可不可达   

   

Human Gene Factions http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1080
状态转移方程:

f[i][j]=Max(f[i-1][j-1]+r[a[i]][b[j]],f[i][j-1]+r[‘-‘][b[j]],f[i-1][j]+r[a[i]][‘-‘]);

★ Doing Homework http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1074

   这题用到位压缩;

   那么任务所有的状态有2^n-1种

   状态方程为:Dp[next]=min{Dp[k]+i的罚时}其中,next=k+(1<<i),k要取完满足条件的值k>>i的奇偶性决定状态k
具体实现为:对每种状态遍历n项任务,如果第i项没有完成,则计算出Dp[next]的最优解   

   

Free DIY Tour http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1224

   简单的数塔Dp,考察的是细节的处理;

   Dp[i]=Max{Dp[j]}+v[i]

其中j->i为通路;

   v[n+1]有没有初始化,Dp数组有没有初始化

   这题不能用想当然的”最长路”来解决,这好像是个NP问题

解决不了的

   

   
重温世界杯http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1422
这题的状态不难理解,状态表示为,如果上一个城市剩下的钱不为负,也就是没有被赶回杭电,则再考虑它对下一个城市的影响;如果上一个城市剩下的前加上当前城市的前大于当前城市的生活费,那么Dp[i]=Dp[i-1]+1;
值得注意的而是这题的数据为100000;不可能以每个城市为起点来一次Dp,时间复杂度为n^2;足已超时;
我是这样处理的,在保存的数据后面再接上1…n的数据,这样扫描一遍的复杂度为n;再加一个优化,当Dp[i]==n时,也就是能全部游完所有城市的时候,直接break;
Pearls http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1300

   Dp[i]=min{Dp[j]+V},
0<=j<i,V为第j+1类珠宝到第i类全部以i类买入的价值;   

   

Zipper http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1501

   Dp[i][j]=    

   
★Fast Food http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1227

   这里需要一个常识:在i到j取一点使它到区间每一点的距离之和最小,这一点为(i+j)/2用图形即可证明;

   Dp[i][j]=max{Dp[i-1][k]+cost[k+1][j]其中,(i-1)<=k<j状态为前j个position建i个depots   

   

Warcraft http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3008

   比赛的时候这道DP卡到我网络中心停电!!!
卧槽~

   因为你没有回血效应,所以你挂掉的时间是一定的;

   用Dp[i][j]表示第i秒剩余j个单位的MP时怪物所剩的血量;注意必须是剩余,也就是说,初始化的时候,DP[0][100]=100;其他Dp[0]状态都不合法,因为没有开战的时候你的MP是满的

   以前的Dp都是利用前面得到的最优解来解决,而这题的麻烦点是MP在攻击过后要自动恢复x个单位;用当前的状态的状态推下一状态,仔细想想也未尝不可;状态转移方程为:

   Dp[i+1][j-sk[k].mp+x]=min(Dp[i+1][j-sk[k].mp+x],Dp[i][j]+sk[k].at;释放第K种技能,物理攻击可以看成是at=1,mp=0
的魔法;

   

Regular Words http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1502

   F[a][b][c]=F[a-1][b][c]+F[a][b-1][c]+F[a][b][c-1];

   a>=b>=c;   

   

Advanced Fruits http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1503

   最长公共子序列的加强版