最短路径之Dijkstra算法详细讲解

    
       
    最短路径之Dijkstra算法详细讲解

 

１  最短路径算法

在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，
旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：

（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

２  Dijkstra算法

2.1  Dijkstra算法

　　Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。　

2.2  Dijkstra算法思想

Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径
, 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.3  Dijkstra算法具体步骤　　

（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

2.4  Dijkstra算法举例说明

如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

图一：Dijkstra无向图

 



算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册--日志相册”中，名为“Dijkstra算法过程”的图就是了

 



参考上面的图写的代码

#include
<stdio.h>

#include<string.h>

#define MAX
10000000         

int
a[10][10],k[10];

void 
dijkstra(int graph[][10], int n)

{

   

        
int cov[10];

        
memset(cov,0,sizeof(cov));

        
memset(k,0,sizeof(k));

        

   
int flag, i, j,min,max=0;

   
for(i=1;i<=n;i++)

       
k[i] = graph[1][i];
       

   
for(i=2;i<=n;i++)

   
{

       
min=MAX;               

       
flag =
0;                         

       
for(j=2;j<=n;j++)               

       
{

           
if(k[j]<min &&
cov[j]== 0)

           
{

               
min =
k[j];       

               
flag =
j;               

           
}

       
}

               

       
cov[flag] =
1;             

       
for(j = 2; j <= n;
j++)             

       
{

           
if(cov[j]==0&&graph[flag][j]>=0&&min+graph[flag][j]<k[j])
  

           
{

               
k[j] = graph[flag][j]+min;

           
}

       
}

   
}

 

}

int main()

{

        
int i,j,x,y,v;

        
for(i=1;i<=6;i++)

        
{

                  
for(j=i;j<=6;j++)

                           
a[i][j]=MAX;

        
}

        
while(scanf("%d",&x),x)

        
{

                  
scanf("%d%d",&y,&v);

                  
a[x][y]=a[y][x]=v;

        
}

        
dijkstra(a,6);

        
for(i=2;i<=6;i++)

                  
printf("%d ",k[i]);

        
return 0;

}

样例输入输出x到y的距离v

1 2 6

1 3 3

2 3 2

2 4 5

3 4 3

3 5 4

4 5 2

4 6 3

5 6 5

 

0

5 3 6 7
9 

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